9.2.2 第2课时 向量共线定理（word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第二册（苏教版2019）

第 2 课时　向量共线定理(深化课—题型研究式教学) 　　　 　 1.理解向量共线的概念，掌握向量共线定理及简单应用． 2．会应用向量共线定理证明两直线平行及三点共线问题． 1．向量共线定理 设a为非零向量，如果有一个实数λ，使b＝λa，那么b与a是共线向量；反之，如果b与a是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使b＝λa. 2．常用结论 (1)设a，b均为实数，若，不共线，点P满足＝a＋b，a＋b＝1，则A，B，P三点共线． (2)中线向量公式：在△ABC中，若D是BC的中点，则＝(＋)． (3)与同方向的单位向量为，与共线的单位向量为±. (4)O是△ABC的重心的充要条件是＋＋＝0. 题型(一)　向量共线的判定 [典例1]　判断向量a，b是否共线(其中e1，e2是两个非零不共线的向量)． (1)a＝3e1，b＝－9e1； (2)a＝e1－e2，b＝3e1－2e2； (3)a＝e1－e2，b＝3e1＋3e2. [解]　(1)因为a＝3e1，b＝－9e1，则有b＝－3a，所以a，b共线． (2)因为a＝e1－e2，b＝3e1－2e2 ＝6，则b＝6a，所以a，b共线． (3)假设b＝λa(λ∈R)，则3e1＋3e2＝λ，即(3－λ)e1＋(3＋λ)e2＝0.因为e1，e2不共线，所以此方程组无解．因此不存在实数λ，使得b＝λa.所以a，b不共线． [方法技巧] 向量共线的判定一般是用其判定定理，即a是一个非零向量，若存在唯一一个实数λ，使得b＝λa，则向量b与非零向量a共线．解题过程中，需要把两向量用共同的已知向量来表示，进而互相表示，由此判断共线．　　 [针对训练] 1．(多选)向量a＝2e，b＝－6e，则下列说法正确的是(　 ) A．a∥b B．向量a，b方向相反 C．|a|＝3|b| D．b＝－3a 解析：选ABD　因为a＝2e，b＝－6e，所以b＝－3a，故D正确；由向量共线定理知，A正确；－3<0，a与b方向相反，故B正确；由上可知|b|＝3|a|，故C错误． 2．已知P，A，B，C是平面内四点，且＋＋＝，则下列向量一定共线的是(　 ) A.与 B.与 C.与 D.与 解析：选B　因为＋＋＝，所以＋＋＋＝0，即－2＝.所以与共线．故选B. 题型(二)　三点共线的判定与证明 [典例2]　(1)设e1，e2是两个不共线的向量，已知＝e1＋5e2，＝－2e1＋8e2，＝3e1－3e2，则(　 ) A．A，B，C三点共线 B．B，C，D三点共线 C．A，B，D三点共线 D．A，C，D三点共线 (2)已知a，b是不共线的向量，＝λa＋b，＝a＋μb(λ，μ∈R)，那么A，B，C三点共线的充要条件为(　 ) A．λ＋μ＝2 B．λ－μ＝1 C．λμ＝－1 D．λμ＝1 [解析]　(1)因为＝e1＋5e2，＝－2e1＋8e2，＝3e1－3e2，所以＝＋＝e1＋5e2＝.所以A，B，D三点共线．因为与没有倍数关系，所以A，B，C三点不共线．因为与没有倍数关系，所以B，C，D三点不共线．因为＝＋＝－e1＋13e2，与没有倍数关系，所以A，C，D三点不共线．故选C. (2)由A，B，C三点共线可得，∥，∴存在m∈R，使＝m，∴λa＋b＝ma＋mμb，即(λ－m)a＝(mμ－1)b.∵a，b不共线，∴故可得λμ＝1.反之，若λμ＝1，则μ＝.∴＝a＋b＝(λa＋b)＝，∴∥，又与有公共点A，∴A，B，C三点共线．故选D. [答案]　(1)C　(2)D [方法技巧] 证明或判断三点共线的方法 (1)一般来说，要判定A，B，C三点是否共线，只需看是否存在实数λ，使得＝λ(或＝λ等)即可． (2)利用结论：若A，B，C三点共线，O为直线外一点⇔存在实数x，y，使＝x＋y且x＋y＝1.　　 [针对训练] 3．P是△ABC所在平面内一点，＝λ＋，则P点必在(　 ) A．△ABC内部 B．直线AC上 C．直线AB上 D．直线BC上 解析：选B　∵＝－，＝λ＋，∴－＝λ＋.∴－＝λ.∴∥，即与共线．∴P点一定在AC边所在直线上．故选B. 4．已知a，b是不共线的两非零向量，＝2a－b，＝3a＋b，＝a－3b，证明A，B，C三点共线． 证明：∵＝－＝(3a＋b)－(2a－b)＝a＋2b，而＝－＝(a－3b)－(3a＋b)＝－2(a＋2b)＝－2AB，∴与共线，又与有公共点，∴A，B，C三点共线． 题型(三)　利用向量共线求参数 [典例3]　(1)在△ABC中，已知D是AB边上一点，若＝2，＝＋λ，则λ＝(　 ) A. B. C．－ D．－ (2)已知非零向量e1，e2不共线，欲使－e1＋ke2和－2e1＋e2共线，则k的值为______． [解析]　(1)由＝2，得－＝2(－)，即＝＋，所以λ＝. (2)因为－e1