9.2.1 第1课时 向量的加法（word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第二册（苏教版2019）

9.2.1　向量的加减法 　　　　　　第 1 课时　向量的加法(强基课—梯度进阶式教学) 　　　 1.借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量加法运算及运算规则． 2．理解平面向量加法的几何意义，会用向量的三角形法则和平行四边形法则作 两个向量的和向量． 3．掌握向量加法的交换律和结合律，并会用它们进行向量的计算． 1．向量加法的定义 求两个向量和的运算叫作向量的加法． 2．向量加法的两种法则 法则 图示 三角形法则 已知向量a和b，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则向量叫作a与b的和，记作a＋b.即a＋b＝＋＝ 平行四边形法则 分别作＝a，＝b，以OA，OC为邻边作▱OABC，则以O为起点的对角线表示的向量就是向量a与b的和 特例 (1)任一向量与其相反向量的和是零向量，即a＋(－a)＝(－a)＋a＝0. (2)对于零向量和任一向量a，我们规定a＋0＝＋a＝a 微点助解 平行四边形法则与三角形法则的区别与联系 区别 (1)三角形法则中强调“首尾相接”，平行四边形法则中强调“共起点”． (2)三角形法则适用于所有的非零向量求和，而平行四边形法则仅适用于不共线的两个向量求和 联系 平行四边形法则与三角形法则在本质上是一致的．这两种求向量和的方法，通过向量平移能相互转化，解决具体问题时视情况而定 3．向量加法的运算律 交换律 a＋b＝b＋a 结合律 (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 微点助解 (1)向量加法的交换律、结合律对任意向量都成立． (2)因为向量的加法满足交换律和结合律，所以多个向量的加法运算就可以按照任意的次序与任意的组合进行．如(a＋b)＋(c＋d)＝(a＋c)＋(b＋d)，a＋b＋c＋d＋e＝[d＋(a＋c)]＋(b＋e)． [基点训练] 1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)任意两个向量的和仍然是一个向量．(　 ) (2)对于任意两个向量，都可利用平行四边形法则求出它们的和向量．(　 ) (3)如果a，b是共线的非零向量，那么a＋b的方向必与a，b之一的方向相同．(　 ) (4)若a＋b＝0，则a＝0且b＝0.(　 ) 答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)× 2．在△ABC中，必有＋＋等于(　 ) A．0 B．0 C．任一向量 D．与三角形形状有关 答案：B 3．在正方形ABCD中，||＝1，则|＋|＝________. 答案： 题型(一)　向量加法法则的应用 [典例1]　(1)如图甲所示，求作向量和a＋b； (2)如图乙所示，求作向量和a＋b＋c. [解]　 (1)首先作向量＝a，然后作向量＝b，则向量＝a＋b.如图所示． (2)法一：三角形法则 如图所示，首先在平面内任取一点O，作向量＝a，再作向量＝b，则得向量＝a＋b，然后作向量＝c，则向量＝(a＋b)＋c＝a＋b＋c. 法二：平行四边形法则 如图所示，首先在平面内任取一点O，作向量＝a，＝b，＝c，以OA，OB为邻边作▱OADB，连接OD，则＝＋＝a＋b.再以OD，OC为邻边作▱ODEC，连接OE，则＝＋＝a＋b＋c. [方法技巧] 用三角形法则求向量和，关键是抓住“首尾相连”，和向量是第一个向量的起点指向第二个向量的终点，平行四边形法则注意“共起点”．两种方法中，第一个向量的起点可任意选取，可在某一个向量上，也可在其他位置．两向量共线时，三角形法则仍适用，平行四边形法则不适用．　　 [针对训练] 1．如图，已知向量a，b，c，求作a＋b＋c. 解：在平面内任取一点O，作＝a，＝b，＝c，如图，则由向量加法的三角形法则，得＝a＋b，＝a＋b＋c. 题型(二)　向量加法及其运算律 [典例2]　化简下列各式： (1)＋＋＋＋； (2)＋＋； (3)＋＋； (4)＋＋＋＋. [解]　(1)＋＋＋＋ ＝(＋)＋＋＋＝0. (2)＋＋＝(＋)＋ ＝＋＝. (3)＋＋＝(＋)＋＝. (4)＋＋＋＋ ＝＋＋(＋＋) ＝＋＋＝(＋)＋ ＝＋＝0. [方法技巧] 向量加法运算的注意点 (1)可以利用向量的几何表示，画出图形进行化简或计算． (2)要灵活运用向量加法的运算律，注意各向量的起、终点及向量起、终点字母的排列顺序，特别注意勿将0写成0.　　 [针对训练] 2.如图，在矩形ABCD中，O为AC与BD的交点，则＋＋＝(　 ) A. B. C. D. 解析：选B　由平面向量加法的三角形法则和平行四边形法则，得＋＋＝＋＝. 3．向量＋＋＋＋＝________. 解析：＋＋＋＋ ＝(＋)＋(＋)＋ ＝＋＋＝(＋)＋ ＝＋＝. 答案： 题型(三)　向量加法的实际应用 [典例3]　在静水中船的速度为20 m/min，水流的速度为10 m/min，如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，