9.1 向量概念（word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第二册（苏教版2019）

　 9．1　向量概念(概念课—逐点理清式教学) 　　 1.通过对力、速度、位移等的分析，了解平面向量的实际背景． 2．理解向量、相等向量、共线向量、相反向量、零向量、夹角的概念及向量的表示． 逐点清(一)　向量的概念与表示 　　　　　　　　　　　　　　　 [多维度理解] 1．向量的定义与表示 定义 既有大小又有方向的量叫作向量 表示方法 (1)几何表示：向量常用一条有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向．以A为起点、B为终点的向量记为.(2)字母表示：用小写字母a，b，c表示 2．模、零向量、单位向量 长度(模) 向量的大小称为向量的长度(或称为模) 零向量 长度为0的向量称为零向量 单位向量 长度等于1个单位长度的向量，叫作单位向量 微点助解 (1)若用有向线段表示零向量，则其终点与起点重合． (2)要注意0与0的区别与联系：0是一个实数，0是一个向量，且有|0|0 . (3)单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同． (4)在平面内，所有单位向量的起点平移到同一点，则它们的终点构成一个半径为1的圆． (5)向量的模能比较大小，但向量不能比较大小． [细微点练明] 1.(多选)已知向量a如图所示，下列说法正确的是(　 ) A．也可以用表示 B．方向是由M指向N C．起点是M D．终点是M 答案：ABC 2．下列命题正确的是(　 ) A．温度有零上和零下之分，所以温度是向量 B．向量的模是一个非负实数 C．有向线段由方向和长度两个要素确定 D．向量a是单位向量，向量b也是单位向量，则向量a与向量b是同一向量 解析：选B　温度虽有大小却无方向，故不是向量，A错误；易知B正确；有向线段由起点、方向、长度三要素组成，C错误；单位向量只要求长度等于1个单位长度，但方向未确定，D错误． 3．下列说法正确的个数为(　 ) ①面积、压强、速度、位移这些物理量都是向量； ②零向量没有方向； ③向量的模一定是正数； ④非零向量的单位向量是唯一的． A．0 B．1 C．2 D．3 解析：选A　①错误，只有速度，位移是向量．②错误，零向量有方向，它的方向是任意的．③错误，|0|0.④错误，非零向量a的单位向量有两个，一个与a同向，一个与a反向． 4．如图所示，已知AD＝3，B，C是线段AD的两个三等分点，分别以图中各点为起点和终点，模大于1的向量有______________________． 解析：满足条件的向量有以下几类：模长为2的向量有，，，；模长为3的向量有，. 答案：，，，，， 　　　　　　　逐点清(二)　平行向量、相等向量及相反向量 　　　　　　　　　　　　　　　 [多维度理解] 1．平行向量 方向相同或相反的非零向量叫作平行向量，平行向量又称为共线向量． (1)记法：向量a与向量b平行，记作a∥b. (2)规定：零向量与任一向量平行． 2．相同的向量 所有长度相等且方向相同的向量都看作相同的向量，若a与b是相同的向量，也称a与b相等，记作a＝b. 3．相反向量 (1)把与向量a长度相等，方向相反的向量叫作a的相反向量，记作－a，a与－a互为相反向量．对任意一个向量a，总有－(－a)＝a. (2)规定零向量的相反向量仍是零向量． 4．向量的夹角 条件 两个非零向量a和b 产生过程 在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ叫作向量a与b的夹角 范围 0°≤θ≤180° 特殊情况 θ＝0° a与b同向 θ＝180° a与b反向 θ＝90° a与b垂直，记作a⊥b 微点助解 (1)向量共线有三种情形：①共线且同向；②共线且反向；③有一个是零向量． (2)共线向量也就是平行向量，其要求是几个非零向量的方向相同或相反，当然向量所在的直线可以平行，也可以重合，其中“平行”的含义不同于平面几何中“平行”的含义．要特别注意零向量与任意向量平行，忽视这一点容易出现错误． [细微点练明] 1．已知向量a与b是两个不平行的向量，若a∥c且b∥c，则c等于(　 ) A．0 B．a C．b D．不存在这样的向量 解析：选A　零向量与任一向量是共线向量，故c＝0满足条件．若c≠0，则a∥c且b∥c，得到a∥b，这与条件矛盾，排除．综上所述，c＝0，故选A. 2．如图，在四边形ABCD中，若＝，则图中相等的向量是(　 ) A.与 B.与 C.与 D.与 解析：选C　由＝，可得四边形ABCD为平行四边形.与互为相反向量，A错误；与互为相反向量，B错误；与满足相等向量的定义，C正确；与方向不同不满足相等向量的定义，D错误．故选C. 3．在△ABC中，向量与向量的夹角为α，向量与向量的夹角为β，向量与向量的夹角为γ，则α＋β＋γ＝(