3.2.4离散型随机变量的方差教学设计-2023-2024学年高二下学期数学湘教版（2019）选择性必修第二 册

3.2.4离散型随机变量的方差 （共1课时，第1课时） 一、课程标准要求 理解离散型随机变量的方差、标准差的意义、性质及应用，并会解决实际问题. 二、教学目标 1.理解离散型随机变量的方差、标准差的意义、性质及应用； 2.会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差，并能解决实际问题． 三、学情与内容分析 本节课是学生在学习了上一节研究了数学期望之后设计的，反映了随机变量与其均值的平均偏离程度，从而更进一步的研究随机变量的现象．解决一些简单的实际问题，揭示了离散型随机变量的统计规律．离散型随机变量的方差作为概率与统计的桥梁与纽带，它既是概率的延伸，也是学习统计学的理论基础，能起到承上启下的作用，感悟数学与生活的和谐之美，体现数学的文化功能与人文价值，是本章的关键知识之一． 四、重难点 重点：离散型随机变量的方差、标准差． 难点：比较两个随机变量的期望与方差的大小，从而解决实际问题． 五、教学过程 （一）知识回顾——启迪思维 复习1：离散型随机变量X的均值： … x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 复习2：两种特殊分布的均值: （1）若X~B(1，p)，则E(X)=p. （2）若X~B(n，p)，则E(X)=np. 【设计意图】1. 回顾离散型随机变量X的均值，它反映了离散型随机变量取值的平均水平. 2.回顾两点分布与二项分布两种特殊分布的均值. （二）深入探究——获得新知 问题：甲、乙两名射手在同一条件下射击，所得环数的分布列分别为 X1 6 7 8 9 10 P1 0.16 0.14 0.42 0.1 0.18 X2 6 7 8 9 10 P2 0.19 0.24 0.12 0.28 0.17 探究1：随机变量方差、标准差的概念 |X-E(X)| 表示随机变量X与其期望E(X)偏离的大小; E{|X-E(X)|} 表示平均偏离的大小. 为了便于数学处理，可用或表示平均偏离的大小. x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn ：随机变量X的方差，也可用表示. ：随机变量X的标准差，也可用表示. 探究2：随机变量方差、标准差的意义 随机变量的方差和标准差都反映了随机变量X偏离于期望E(X)的平均程度. 方差或标准差越小，则随机变量的取值向数学期望集中得越好；反之，方差或标准差越大，则随机变量的取值就越分散. 计算上述问题中甲、乙两名射手射击成绩的方差，得出结论. 【设计意图】旧知类比新知，知识迁移，形成概念. 呼应问题引入，立即应用新知. 思考：随机变量的方差与样本的方差有何联系与区别? 随机变量的方差是常数, 而样本的方差依赖于样本的选取,带有随机性,即样本方差是随机变量. 对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本方差会接近于总体方差,因此,我们常用样本方差估计总体的方差. （三）课堂实练——巩固提高 1.直接应用内化新知 例1．若随机变量X的概率分布如下表所示，求方差和标准差. 0 1 P 1-p p 进一步探究，得： 1.根据方差的定义和数学期望的性质： 2.方差的几点重要性质： （1）若X~B(1, p)，则D(X)=p(1-p). （2）若X~B(n, p)，则D(X)=np(1-p). （3）若Y=aX+b，a，b为常数，则D(Y)=a2D(X). 例2．若某厂一批产品的正品率是98%，检验单位从中有放回地随机抽取10件，计算： （1）抽出的10件产品中平均有多少件正品； （2）抽出的10件产品中正品数的方差和标准差． 例3．某人欲投资10万元，有两种方案可供选择.设X表示方案一所得收益(单位:万元),Y表示方案二所得收益(单位:万元).其分布列分别为： -2 8 -3 12 P 0.7 0.3 P 0.7 0.3 假定同期银行利率为1.75%，该人征求你的意见，你通过分析会得到怎样的结论呢？ 【设计意图】例1考查服从两点分布的随机变量的方差和标准差.探究出方差的计算公式及3点重要性质.通过产品检验的情境考查服从二项分布的随机变量的数学期望"方差和标准差.例3是方差的实际应用问题，借助生活中的投资问题，考查学生对于数学期望、方差和标准差含义的理解. （四）小结反思——拓展引申 1.课堂小结 （1）熟记方差计算公式、三个重要的方差公式 （2）求离散型随机变量X的方差、标准差的一般步骤. 【板书设计】 离散型随机变量的方差 （方差、标准差的计算公式） （方差的几点性质） 希沃课件投影区域 （讲课草稿演算区） 【评价设计】 课本P147 1—4 【作业设计】