11.4.2 第1课时 平面与平面垂直(强基课)（word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第四册（人教B版2019）

11.4.2　平面与平面垂直 第 1 课时　平面与平面垂直(强基课—梯度进阶式教学) 课时目标 1.理解二面角的有关概念，会作二面角的平面角，能求简单二面角的平面角的大小． 2．了解面面垂直的定义，掌握面面垂直的判定定理和性质定理，初步学会用定理证明垂直关系． (一)二面角 定义 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角 相关概念 ①这条直线称为二面角的棱； ②这两个半平面称为二面角的面 画法 记法 二面角α－l－β或α－AB－β或C－l－D或C－AB－D 二面角的平面角 定义：在二面角α－l－β的棱上任取一点O，以O为垂足，分别在半平面α和β内作垂直于棱的射线OA和OB，则射线OA和OB所成的角称为二面角的平面角． 度量：二面角的大小用它的平面角的大小来度量，即二面角大小等于它的平面角大小． 平面角是直角的二面角称为直二面角． 二面角的平面角α的取值范围是0°≤α≤180° 微点助解 构成二面角的平面角的三要素 “棱上”“面内”“垂直”．即二面角的平面角的顶点必须在棱上，角的两边必须分别在两个半平面内，角的两边必须都与棱垂直，这三个条件缺一不可．前两个要素决定了二面角的平面角大小的唯一性和平面角所在的平面与棱垂直． [基点训练] 1．在二面角α－l－β的棱l上任选一点O，若∠AOB是二面角α－l－β的平面角，则必须具有的条件是(　 ) A．AO⊥BO，AO⊂α，BO⊂β B．AO⊥l，BO⊥l C．AB⊥l，AO⊂α，BO⊂β D．AO⊥l，BO⊥l，且AO⊂α，BO⊂β 答案：D 2．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，二面角A－BC－A1的平面角等于________． 答案：45° (二)平面与平面垂直 1．面面垂直的定义 定义 一般地，如果两个平面α与β所成角的大小为90°，则称这两个平面互相垂直，记作α⊥β 画法 画两个互相垂直的平面时，通常把表示平面的两个平行四边形的一组边画成垂直 2．平面与平面垂直的判定定理(简称为面面垂直的判定定理) 文字语言 符号语言 图形语言 作用 如果一个平面经过另外一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直 ⇒α⊥β 证面面 垂直 3．平面与平面垂直的性质定理(简称为面面垂直的性质定理) 文字 语言 如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面 符号 语言 ⇒AO⊥β 图形 语言 作用 ①面面垂直⇒线面垂直； ②作平面的垂线 微点助解 (1)面面垂直的判定定理可简述为“线面垂直⇒面面垂直”．要证明平面与平面垂直，只需转化为证明直线与平面垂直，这充分说明了线面垂直与面面垂直的密切关系． (2)要判断两个平面的垂直关系，只需要固定其中一个平面，找另一个平面内的一条直线与第一个平面垂直． (3)观察空间图形时，不能以平面的观点去看待，平面上画的两直线成锐角或钝角，在空间中可能是垂直的． (4)平面与平面垂直的性质定理成立的条件有三个： ①两个平面垂直； ②有一条直线在其中一个平面内； ③这条直线垂直于两个平面的交线． (5)如果两个平面垂直，那么分别在这两个平面内的两条直线可能平行、相交(含垂直相交)或异面． [基点训练] 1．已知直线l⊥平面α，则经过l且和α垂直的平面(　 ) A．有一个　　　　　　　　 B．有两个 C．有无数个 D．不存在 答案：C 2．若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则(　 ) A．α∥γ B．α⊥γ C．α与γ相交但不垂直 D．以上都有可能 答案：D 3.如图所示，在长方体ABCD －A1B1C1D1的棱AB上任取一点E，作EF⊥A1B1于F，则EF与平面A1B1C1D1的关系是(　 ) A．平行 B．EF⊂平面A1B1C1D1 C．相交但不垂直 D．相交且垂直 答案：D 题型(一)　二面角的求法 [例1]　在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3，BC＝2，AA1＝1，则二面角D1－BC－D的余弦值． [解]　在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3，BC＝2，AA1＝1，∴CD1＝. ∵BC⊥平面DCC1D1，CD1⊂平面DCC1D1， ∴BC⊥CD1. 又∵平面D1BC∩平面BCD＝BC， ∴∠D1CD为二面角D1－BC－D所成的平面角． ∵cos∠D1CD＝＝＝， ∴二面角D1－BC－D的余弦值为. [方法技巧] 1．求二面角大小的步骤 (1)找出这个平面角； (2)证明这个角是二面角的平面角； (3)作出这个角所在的三角形，解这个三角形，求出角的大小． 2．确定二面角的平面角的方法 (1)定义法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别过该点作垂直于棱的射线． (2)垂面法：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二