11.3.3 第2课时 空间平行关系的综合问题(深化课)（word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第四册（人教B版2019）

第 2 课时　空间平行关系的综合问题(深化课—题型研究式教学) 课时目标 1.理解线线平行、线面平行、面面平行之间的相互转化关系． 2．能应用平行关系解决一些简单的综合问题． 题型(一)　平行关系的综合问题 [例1]　如图，四棱锥P－ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，点E为PC上一点，F为PB的中点，且AF∥平面BDE. (1)若平面PAD与平面PBC的交线为l，求证：l∥平面ABCD； (2)求证：AF∥DE. [证明]　(1)∵BC∥AD，AD⊂平面PAD，BC⊄平面PAD，∴BC∥平面PAD. ∵BC⊂平面PBC，平面PBC∩平面PAD＝l， ∴BC∥l. ∵BC⊂平面ABCD，l⊄平面ABCD， ∴l∥平面ABCD. (2)如图，连接AC，FC，设AC∩BD＝O，FC∩BE＝M，连接OM， ∵AF∥平面BDE，AF⊂平面AFC，平面AFC∩平面BDE＝OM，∴AF∥OM. ∵AD∥BC，AD＝BC， ∴＝＝.∴＝＝.∴点M是△PBC的重心．∴点E是PC的中点． ∴＝＝.∴OM∥DE.∴AF∥DE. [方法技巧] 1．解决平行关系综合问题的策略 (1)在遇到线面平行时，常需作(或找)出过已知直线与已知平面相交的辅助平面，以便运用线面平行的性质． (2)线线平行、线面平行、面面平行是一个有机的整体，要灵活应用，实现相互联系、相互转化．在解决立体几何中的平行问题时，一般都要用到平行关系的转化．转化思想是解决这类问题的最有效的方法． 2．平行关系的相互转化 常见的平行关系有线线平行、线面平行和面面平行，这三种关系不是孤立的，而是相互联系、相互转化的，如图所示． 　　 [针对训练] 1.如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝4，BB1＝2，点E，F，M分别为C1D1，A1D1，B1C1的中点，过点M的平面α与平面DEF平行，且与长方体的面相交，交线围成一个平面图形．请在图中画出这个平面图形，并求这个平面图形的面积(不必说明画法与理由)． 解：如图，设N为A1B1的中点，连接MN，AN，AC，CM， 则四边形MNAC为所求的平面图形． 因为M，N，E，F均为所在棱的中点，所以MN∥EF， 又EF⊂平面DEF，MN⊄平面DEF， 所以MN∥平面DEF， 又AN∥DE，AN⊄平面DEF，DE⊂平面DEF， 所以AN∥平面DEF， 又MN∩AN＝N，MN⊂平面MNAC，AN⊂平面MNAC，所以平面MNAC∥平面DEF. 易知四边形MNAC为梯形，且MN＝AC＝2， 过点M作MP⊥AC于点P， 可得MC＝＝2，PC＝＝， 所以MP＝＝， 所以S梯形MNAC＝×(2＋4)×＝6. 题型(二)　线面平行中的探索性问题 [例2]　在三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别是棱BC，CC1的中点，在线段AB上是否存在一点M，使直线DE∥平面A1MC？请证明你的结论． [解]　存在点M，且点M是AB的中点时，直线DE∥平面A1MC，证明如下． 如图，取线段AB的中点M，连接A1M，MC，A1C和AC1. 设O为A1C，AC1的交点，则O为AC1的中点． 连接MD，OE，OM，则MD，OE分别为△ABC，△ACC1的中位线， 所以MD∥AC且MD＝AC，OE∥AC且OE＝AC. 因此MD∥OE且MD＝OE. 从而四边形MDEO为平行四边形，则DE∥MO. 因为直线DE⊄平面A1MC，MO⊂平面A1MC，所以直线DE∥平面A1MC. 即线段AB上存在一点M(线段AB的中点)，使直线DE∥平面A1MC. [方法技巧] 对于结论探究性问题，一般是假设其存在，再进行证明，或先选取中点或找到特殊直线进行验证，并给出证明． [针对训练] 2.如图所示，在四棱锥C－ABED中，四边形ABED是正方形，点G，F分别是线段EC，BD的中点． (1)求证：GF∥平面ABC； (2)线段BC上是否存在一点H，使得平面GFH∥平面ACD？若存在，请找出点H并证明；若不存在，请说明理由． 解：(1)证明：由四边形ABED为正方形可知，连接AE必与BD相交于中点F， 故GF∥AC .∵GF⊄平面ABC，且AC⊂平面ABC，∴GF∥平面ABC. (2)线段BC上存在一点H满足题意，且点H是BC的中点．理由如下： 取BC的中点H，连接GH， 由点G，H分别为CE，CB的中点， 得GH∥EB∥AD. ∵GH⊄平面ACD，AD⊂平面ACD， ∴GH∥平面ACD. ∵GF∥AC，AC⊂平面ACD，GF⊄平面ACD， ∴GF∥平面ACD. 又GF∩GH＝G，GH，GF⊂平面GFH， ∴平面GFH∥平面ACD. 学科网（北京）股份有限公司 $$