11.3.1 平行直线与异面直线(强基课)（word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第四册（人教B版2019）

11.3.1　平行直线与异面直线(强基课—梯度进阶式教学) 课时目标 1.理解空间平行线的传递性，会证等角定理． 2．理解异面直线的概念、画法，了解空间四边形． (一)平行直线 1．空间平行线的传递性 文字语言 图形语言 符号语言 平行于同一条直线的两条直线互相平行 如果a∥b，a∥c，则b∥c 　　 2.等角定理 如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，并且方向相同，那么这两个角相等． [基点训练] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)垂直于同一直线的两条直线互相平行．(　 ) (2)分别和两条异面直线平行的两条直线平行．(　 ) (3)如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等．(　 ) 答案：(1)×　 (2)×　(3)√ 2．已知AB∥PQ，BC∥QR，若∠ABC＝30°，则∠PQR等于(　 ) A．30° B．30°或150° C．150° D．以上结论都不对 解析：选B　由等角定理可知∠PQR与∠ABC相等或互补，故∠PQR＝30°或150°. 3．若两个三角形不在同一平面内，它们的边两两对应平行，那么这两个三角形(　 ) A．全等 B．相似 C．仅有一个角相等 D．无法判断 解析：选B　由等角定理知，这两个三角形的三个角分别对应相等，所以这两个三角形相似． (二)异面直线 1．异面直线的概念 空间中既不平行也不相交的直线． 2．异面直线的画法 为了表示异面直线a，b不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面衬托，如图(1)(2)所示． [基点训练] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两条直线无公共点，则这两条直线平行．(　 ) (2)两直线若不是异面直线，则必相交或平行．(　 ) (3)过平面外一点与平面内一点的连线，与平面内的任意一条直线均构成异面直线．(　 ) (4)和两条异面直线都相交的两直线必是异面直线．(　 ) 答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 2．不平行的两条直线的位置关系是(　 ) A．相交 B．异面 C．平行 D．相交或异面 解析：选D　若两直线不平行，则直线可能相交，也可能异面． 3．在三棱锥S－ABC中，与SA是异面直线的是(　 ) A．SB B．SC C．BC D．AB 答案：C (三)空间四边形 顺次连接不共面的4点所构成的图形称为空间四边形，其中4个点都是空间四边形的顶点，连接相邻顶点间的线段称为空间四边形的边，连接不相邻顶点间的线段称为空间四边形的对角线． 空间四边形用表示顶点的4个字母表示． [基点训练] (多选)在空间四边形ABCD中，下列说法正确的是(　 ) A．直线AB与CD异面 B．对角线AC与BD相交 C．四条边不能都相等 D．四条边的中点组成一个平行四边形 解析：选AD　由定义知A正确；B错误，否则A，B，C，D四点共面；C错误，可将一个菱形沿一条对角线折起一个角度，就成为四边相等的空间四边形；D正确，由平行四边形的判定定理可证． 题型(一)　空间平行线的传递性及其应用 [例1]　如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，E，F，E′，F′分别是AB，BC，A′B′，B′C′的中点．求证：EE′∥FF′. [证明]　因为E，E′分别是AB，A′B′的中点， 所以BE∥B′E′，且BE＝B′E′. 所以四边形EBB′E′是平行四边形． 所以EE′∥BB′.同理可证FF′∥BB′. 所以EE′∥FF′. [变式拓展] 在本例中，若M，N分别是A′D′，C′D′的中点，求证：四边形ACNM是梯形． 证明：在正方体中，MN∥A′C′，且MN＝A′C′， 因为A′C′∥AC，且A′C′＝AC， 所以MN∥AC，且MN＝AC. 又AM与CN不平行，故四边形ACNM是梯形． [方法技巧] 证明空间两条直线平行的方法 (1)平面几何法 三角形中位线、平行四边形的性质等． (2)定义法 用定义证明两条直线平行，要证明两个方面：一是两条直线在同一平面内；二是两条直线没有公共点． (3)空间平行线的传递性 用空间平行线的传递性证明两条直线平行，只需找到直线b，使得a∥b，同时b∥c，由空间平行线的传递性即可得到a∥c. [针对训练] 1.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为AA1，CC1的中点，求证：BFD1E是平行四边形． 证明：如图所示，取BB1的中点G，连接GC1，GE. 因为F为CC1的中点， 所以BG∥FC1，且BG＝FC1. 所以四边形BFC1G是平行四边形． 所以BF∥GC1，BF＝GC1. 又因为EG∥A1B1，EG＝A1B1，A1B1∥C1D1，A1B1＝C1D1， 所以EG∥C1D1，EG＝C1D1. 所以四