10.2.2 复数的乘法与除法(概念课)（word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第四册（人教B版2019）

10．2.2　复数的乘法与除法(概念课—逐点理清式教学) 课时目标 1.掌握复数的乘法和除法运算．理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律． 2．掌握在复数范围内解方程的方法． 逐点清(一)　复数的乘法 [多维度理解] 1．复数的乘法的定义 一般地，设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，称z1z2(或z1×z2)为z1与z2的积，并规定z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i. 2．复数乘法的运算律 (1)对任意复数z1，z2，z3，有 交换律 z1z2＝z2z1 结合律 (z1z2)z3＝z1(z2z3) 乘法对加法的分配律 z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3 (2)n个相同的复数z相乘时，仍称为z的n次方(或n次幂)，并记作zn.当m，n均为正整数时，zmzn＝zm＋n，(zm)n＝zmn，(z1z2)n＝zz. (3)i的乘方运算性质 i4n＋1＝ ；i4n＋2＝－1；i4n＋3＝－i；i4n＝1. (4)两个共轭复数的乘积等于这个复数(或其共轭复数)模的平方． 微点助解 实数集内乘法、乘方的一些重要结论和运算法则在复数集内不一定成立，如： (1)当z∈R时，有|z|2＝z2；当z∈C时，有|z|2∈R，而z2∈C，故|z|2和z2不能进行比较．例如，当z＝1＋i时，|z|2＝2，z2＝2i，此时2和2i不能进行比较． (2)当m，n∈R时，有m2＋n2＝0⇔m＝n＝0；当z1，z2∈C时，z＋z＝0z1＝z2＝0，但z1＝z2＝0⇒z＋z＝0. 需注意z1z2＝0的充要条件是z1＝0或z2＝0.依据复数的乘法运算可得z1z2＝0⇔|z1z2|＝0⇔|z1||z2|＝0⇔z1＝0或z2＝0. [细微点练明] 1．复数(3＋2i)i等于(　 ) A．－2－3i B．－2＋3i C．2－3i D．2＋3i 解析：选B　(3＋2i)i＝3i＋2i·i＝－2＋3i，故选B. 2．设i为虚数单位，则i＋i2＋i3＋…＋i2 023的值为(　 ) A．i＋1 B．i－1 C．i D．－1 解析：选D　因为i＋i2＋i3＋i4＝0，in的取值周期为4，所以i＋i2＋i3＋…＋i2 022＋i2 023＝505×0＋i＋i2＋i3＝i－1－i＝－1. 3．(2023·新课标Ⅱ卷)在复平面内，(1＋3i)(3－i)对应的点位于(　 ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：选A　因为(1＋3i)(3－i)＝3－i＋9i－3i2＝6＋8i，所以该复数在复平面内对应的点为(6,8)，位于第一象限，故选A. 4．若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是(　 ) A．(－∞，1) B．(－∞，－1) C．(1，＋∞) D．(－1，＋∞) 解析：选B　由题意，得z＝(1－i)(a＋i)＝(a＋1)＋(1－a)i，因为z在复平面内对应的点在第二象限，所以解得a<－1，故选B. 5．已知复数z1＝1－2i，z2＝1＋bi，若＝7－i，则实数b＝(　 ) A．1 B．2 C．3 D．－1 解析：选C　因为＝·＝(1＋2i)(1－bi)＝1＋2b＋(2－b)i＝7－i，所以1＋2b＝7,2－b＝－1，解得b＝3.故选C. 逐点清(二)　复数的除法 [多维度理解] 1．复数的除法的定义 (1)如果复数z2≠0，则满足zz2＝z1的复数z称为z1除以z2的商，并记作z＝(或z＝z1÷z2)，z1称为被除数，z2称为除数． (2)当z为非零复数且n是正整数时，规定z0＝1，z－n＝. 2．复数倒数的运算 设z＝a＋bi，则＝，且＝. 3．复数的除法法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(c＋di≠0)，＝＝＋i. 4．常用公式 (1)＝－i；(2)＝i；(3)＝－i. [细微点练明] 1．(2023·新课标Ⅰ卷)已知z＝，则z－＝(　 ) A．－i B．i C．0 D．1 解析：选A　因为z＝＝＝－，所以＝，所以z－＝－－＝－i.故选A. 2．若复数z满足z(2－i)＝11＋7i(i是虚数单位)，则z＝(　 ) A．3＋5i B．3－5i C．－3＋5i D．－3－5i 解析：选A　∵z(2－i)＝11＋7i，∴z＝＝＝＝3＋5i. 3．(2023·全国甲卷)＝(　 ) A．－1 B．1 C．1－i D．1＋i 解析：选C　由题意知，＝＝＝1－i，故选C. 4．(多选)已知复数z满足＝2＋i，则(　 ) A．z的虚部为－1 B．|z|＝ C．z在复平面内对应的点在第四象限 D．z6＝－8i 解析：选ABD　因为＝2＋i，所以1－＝2＋i，所以z＝＝＝＝－1