10.1.2 复数的几何意义(强基课)（word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第四册（人教B版2019）

10.1.2　复数的几何意义(强基课—梯度进阶式教学) 课时目标 1.了解复平面的概念，理解复数、复平面内的点、复平面内的向量之间的对应关系． 2．理解共轭复数的概念，并会求一个复数的共轭复数． 3．掌握用向量的模来表示复数的模的方法，会求复数的模，并能解决相关的问题． 1．复平面的概念 建立了直角坐标系来表示复数的平面也称为复平面．在复平面内，x轴上的点对应的都是实数，因此x轴称为实轴；y轴上的点除了原点外，对应的都是纯虚数，为了方便起见，称y轴为虚轴． 2．共轭复数 一般地，如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则称这两个复数互为共轭复数．复数z的共轭复数用表示，因此，当z＝a＋bi(a，b∈R)时，有＝a－bi. 3．复数的几何意义 微点助解 (1)理解复数与复平面内的点一一对应的注意点 ①复数的实质是有序实数对． ②复平面内的点Z的坐标是(a，b)，而不是(a，bi)．也就是说，复平面内的虚轴上的单位长度是1，而不是i. ③当a＝0，b≠0时，a＋bi＝0＋bi＝bi是纯虚数，所以虚轴上的点(0，b)(b≠0)都表示纯虚数． ④复数z＝a＋bi中的z，书写时应小写；复平面内点Z(a，b)中的Z，书写时应大写． (2)如果Z是复平面内表示复数z＝a＋bi(a，b∈R)的点，则 ①当a>0，b>0时，点Z位于第一象限； 当a<0，b>0时，点Z位于第二象限； 当a<0，b<0时，点Z位于第三象限； 当a>0，b<0时，点Z位于第四象限． ②当a＝0时，点Z在虚轴上； 当b＝0时，点Z在实轴上． 4．复数的模 一般地，向量＝(a，b)的长度称为复数z＝a＋bi的模(或绝对值)，复数z的模用|z|表示，因此|z|＝.当b＝0时，|z|＝＝|a|.一般地，两个共轭复数的模相等，即|z|＝||. [基点训练] 1．若＝(0，－3)，则对应的复数为(　 ) A．0 B．－3 C．－3i D．3 解析：选C　由复数的几何意义可知对应的复数为－3i.故选C. 2．复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i对应的点在虚轴上，则(　 ) A．a≠2或a≠1 B．a≠2或a≠－1 C．a＝2或a＝0 D．a＝0 解析：选C　由题意知a2－2a＝0，解得a＝0或a＝2.故选C. 3．已知复数z＝－3i，则复数的模|z|是(　 ) A．5 B. C．6 D. 解析：选D　|z|＝＝. 4．若复数z＝－2＋i，则复数z的共轭复数 等于(　 ) A．－2＋i B．－2－i C．2＋i D．2－i 解析：选B　因为复数z＝－2＋i，所以复数z的共轭复数 ＝－2－i. 题型(一)　复数与复平面内点的关系 [例1]　实数a取什么值时，复平面内表示复数z＝a2＋a－2＋(a2－3a＋2)i的点： (1)位于第二象限； (2)位于实轴上方； (3)位于直线y＝x上． [解]　根据复数的几何意义可知，复平面内表示复数z＝a2＋a－2＋(a2－3a＋2)i的点为Z(a2＋a－2，a2－3a＋2)． (1)由点Z位于第二象限得解得－2<a<1. 故满足条件的实数a的取值范围为(－2,1)． (2)由点Z位于实轴上方得a2－3a＋2>0， 解得a>2或a<1，故满足条件的实数a的取值范围为(－∞，1)∪(2，＋∞)． (3)由点Z位于直线y＝x上得a2＋a－2＝a2－3a＋2，解得a＝1. 故满足条件的实数a的值为1. [方法技巧] 利用复数与复平面内点的对应关系解题的步骤 (1)找对应关系：复数的几何表示法即复数z＝a＋bi(a，b∈R)可以用复平面内的点Z(a，b)来表示，是解决此类问题的根据． (2)列出方程：此类问题可寻求复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程(组)或不等式(组)求解． [提醒]　复数与复平面内的点是一一对应关系，因此复数可以用点来表示． [针对训练] 1．复数z＝－1－2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点位于(　 ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：选C　z＝－1－2i在复平面内对应的点为(－1，－2)，它位于第三象限． 2．在复平面内，若表示复数z＝m2－1＋i的点在第四象限，则实数m的取值范围是(　 ) A．(－∞，－1) B．(1，＋∞) C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－1,1) 解析：选A　因为表示复数z＝m2－1＋i的点在第四象限，所以解得m<－1.故选A. 题型(二)　复数与复平面内向量的关系 [例2]　(1)在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是　(　 ) A．4＋80i B．8＋2i C．2＋4i D．4＋i (2)向量对应的复数是5－4i，向量对应的复