10.1.1 复数的概念(概念课)（word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第四册（人教B版2019）

第十章 复　数 10．1.1　复数的概念(概念课—逐点理清式教学) 课时目标 1.了解复数的概念，能类比有理数扩充到实数系的过程和方法，通过方程的解认识复数． 2．能描述复数代数表示式的结构特征，正确判断复数的实部、虚部． 3．知道复数集、实数集、虚数集与纯虚数集之间的关系． 逐点清(一)　复数的概念 [多维度理解] 1．虚数单位 一般地，为了使得方程x2＝－1有解，人们规定i的平方等于－1，即i2＝－1，并称i为虚数单位． 2．复数的定义及表示方法 定义 一般地，当a与b都是实数时，称a＋bi为复数 表示方法 复数一般用小写字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a称为z的实部，b称为z的虚部，分别记作Re(z)＝a，Im(z)＝b 微点助解 (1)虚数单位i性质的关注点：i2＝－1的理解：并没有规定i＝±还是i＝或i＝－，在今后的学习中，我们将知道＝±i但不能说i＝±. (2)复数集是最大的数集，任何一个数都可以写成a＋bi(a，b∈R)的形式，其中0＝0＋0i和实数之间能进行加法、乘法运算． (3)复数的虚部是实数b而非bi. (4)复数z＝a＋bi只有在a，b∈R时才是复数的代数形式，否则不是． [细微点练明] 1．若复数z的实部和虚部之和为3，则复数z可以是(　 ) A．3－i B．3＋i C．－1＋4i 　 D．1＋3i 答案：C 2．已知复数z1＝1＋3i的实部与复数z2＝－1－ai的虚部相等，则实数a等于(　 ) A．－3 B．3 C．－1 D．1 解析：选C　复数z1＝1＋3i的实部为1.复数z2＝－1－ai的虚部为－a，则－a＝1，解得a＝－1. 3．以－＋7i的虚部为实部，以i＋5i2的实部为虚部的复数是(　 ) A．7－5i B．－＋i C．5＋i D.＋i 解析：选A　设所求复数为z＝a＋bi(a，b∈R)，由题意知复数－＋7i的虚部为7，所以a＝7.复数i＋5i2＝－5＋i的实部为－5，所以b＝－5，故z＝7－5i. 4．若复数z＝a2－3＋2ai的实部与虚部互为相反数，则实数a的值为________． 解析：由条件知a2－3＋2a＝0，∴a＝1或a＝－3. 答案：1或－3 逐点清(二)　复数的分类 [多维度理解] 1．复数集 定义 所有复数组成的集合称为复数集 表示 复数集通常用大写字母C表示，C＝{z|z＝a＋bi，a，b∈R} 2．复数的分类 (1) (2)集合表示： 微点助解 (1)两个复数不一定能比较大小，当两个复数都是实数时，可以比较大小；两个虚数或一个虚数与一个实数不能比较大小，即两个复数除去都是实数外，没有大小关系． (2)复数分类问题的求解方法与步骤 ①化标准式：解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部． ②定条件：复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为a＋bi(a，b∈R)的形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)即可． ③下结论：设所给复数为z＝a＋bi(a，b∈R)，则z为实数⇔b＝0；z为虚数⇔b≠0；z为纯虚数⇔a＝0且b≠0.a＝0是z＝a＋bi(a，b∈R)为纯虚数的必要不充分条件． [细微点练明] 1．若复数(a2－3a＋2)＋(a－1)i是纯虚数，则实数a的值为(　 ) A．1 B．2 C．－1或－2 D．1或2 解析：选B　由得a＝2，故选B. 2．复数z＝a2－b2＋(a＋|a|)i(a，b∈R)为实数的充要条件是(　 ) A．|a|＝|b| B．a＜0且a＝－b C．a＞0且a≠b D．a≤0 解析：选D　复数z为实数的充要条件是a＋|a|＝0，故a≤0. 3．已知z1＝－4a＋1＋(2a2＋3a)i，z2＝2a＋(a2＋a)i，其中a∈R，z1>z2，则a的值为________． 解析：由z1>z2，得 即解得a＝0. 答案：0 4．当m为何实数时，复数z＝＋(m2－2m－15)i是：(1)虚数；(2)纯虚数；(3)实数． 解：(1)当 即m≠5且m≠－3时，z是虚数． (2)当 即m＝3或m＝－2时，z是纯虚数． (3)当即m＝5时，z是实数． 逐点清(三)　复数相等 [多维度理解] 1．复数相等的概念 两个复数z1与z2，如果实部与虚部都对应相等，就说这两个复数相等，记作z1＝z2. 2．复数相等的充要条件 如果a，b，c，d都是实数，那么a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d. 特别地，a＋bi＝0的充要条件是a＝0且b＝0. 微点助解 (1)在两个复数相等的条件中，注意前提条件是a，b，c，d∈R，即当a，b，c，d∈R时，a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d.若忽略前提条件，则结论不能成立． (2)利用该条