8.2.2 第1课时 两角和与差的正弦 （word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第三册（人教B版2019）

8.2.2　两角和与差的正弦、正切 第1课时　两角和与差的正弦(强基课—梯度进阶式教学) 课时目标 1．能由两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦公式，了解它们的内在联系． 2．掌握两角和与差的正弦公式，并能灵活运用这些公式进行简单的恒等变换． 1．两角和与差的正弦公式 名称 简记符号 公式 使用条件 两角和的正弦公式 Sα＋β sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β α，β∈R 两角差的正弦公式 Sα－β sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β α，β∈R 微点助解 (1)公式中的角α，β都是任意角． (2)一般情况下，两角和与差的正弦不能按分配律展开，即sin (α±β)≠sin α±sin β. (3)注意公式的逆向运用和变形运用． ①公式的逆用：如sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β＝sin[(α＋β)－β]＝sin α. ②公式的变形运用：变形运用涉及两个方面， 一个是公式本身的变形运用，如sin(α－β)＋cos αsin β＝sin αcos β；一个是角的变形运用，也称为角的拆分变换，如α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)等，这些在某种意义上来说是一种整体思想的体现． 2．将函数化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)的形式 f(x)＝asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)(a，b不同时为0)，其中cos φ＝，sin φ＝ . [基点训练] 1．sin 105°的值为(　 ) A. B． C. D． 答案：D 2．化简sin 21°cos 81°－cos 21°sin 81°等于(　 ) A．－ B．－ C. D． 答案：A 3．若sin＝，则sin α＋cos α＝________. 解析：因为sin＝sincos α＋cossin α＝， 即cos α＋sin α＝，所以sin α＋cos α＝. 答案： 题型(一)　给角求值 [典例1]　(1)cos－sin＝(　 ) A. B． C. D． (2)sin 52°cos 22°－sin 38°sin 158°＝(　 ) A．－ B． C. D．－ (3)cos(70°＋α)sin(170°－α)－sin(70°＋α)cos(10°＋α)＝(　 ) A．－ B．－ C. D． [解析]　(1)cos－sin＝cos－sin＝coscos＋sinsin－sincos＋cossin＝×＋×－×＋×＝. (2)sin 52°cos 22°－sin 38°sin 158° ＝sin 52°cos 22°－cos 52°sin 22° ＝sin(52°－22°)＝sin 30°＝. (3)原式＝cos(70°＋α)sin[180°－(10°＋α)]－sin(70°＋α)cos(10°＋α)＝cos(70°＋α)sin(10°＋α)－sin(70°＋α)cos(10°＋α)＝sin[(10°＋α)－(70°＋α)]＝sin(－60°)＝－sin 60°＝－. [答案]　(1)D　(2)B　(3)B [方法技巧] 掌握两个解题技巧 (1)利用诱导公式把不同的角转化为相同的角． (2)注意公式的逆用或变形用． [针对训练] 1．sin 2 023°cos 17°＋cos 2 023°cos 73°＝(　 ) A. B．－ C．－ D． 解析：选C　sin 2 023°cos 17°＋cos 2 023°cos 73°＝sin 2 023°cos 17°＋cos 2 023°sin 17°＝sin(2 023°＋17°)＝sin 2 040°＝sin 240°＝－sin 60°＝－. 2．sin 50°cos 170°－sin 40°sin 170°＝(　 ) A．－ B． C. D．－ 解析：选A　sin 50°cos 170°－sin 40°sin 170°＝sin 50°cos 170°－cos 50°sin 170°＝sin(50°－170°)＝sin(－120°)＝－sin 120°＝－. 3．已知a＝(2sin 35°，2cos 35°)，b＝(cos 5°，－sin 5°)，则a·b＝(　 ) A. B．1 C．2 D．2sin 40° 解析：选B　a·b＝2sin 35°cos 5°－2cos 35°sin 5°＝2sin(35°－5°)＝2sin 30°＝1. 题型(二)　条件求值 [典例2]　已知sin α＝，cos β＝－，且α为第一象限角，β为第二象限角，求sin(α＋β)的值 [解]　因为α为第一象限角，β为第二象限角，sin α＝，cos β＝－， 所以cos α＝，sin β＝. 所以sin(α＋β)＝sin