8.1.1 向量数量积的概念 （word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第三册（人教B版2019）

第八章　向量的数量积与三角恒等变换 8．1.1　向量数量积的概念(概念课—逐点理清式教学) 课时目标 1．理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积． 2．通过几何直观了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义，会求投影向量． 逐点清(一)　两个向量的夹角 [多维度理解] 定义 给定两个非零向量a，b，在平面内任选一点O，作＝a，＝b，则称[0，π]内的∠AOB为向量a与向量b的夹角，记作〈a，b〉 范围 0≤〈a，b〉≤π 特例 〈a，b〉＝0 a与b同向 〈a，b〉＝π a与b反向 〈a，b〉＝ a与b垂直，记作a⊥b. 规定零向量与任意向量垂直 [细微点练明] 1．在△ABC中，∠C＝90°，BC＝AB，则与的夹角是(　 ) A．30° B．60° C．120° D．150° 解析：选C　如图，作向量＝，则∠BAD是与的夹角．在△ABC中，因为∠ACB＝90°，BC＝AB，所以∠ABC＝60°.所以∠BAD＝120°. 2．若向量a，b的夹角为30°，则向量－a，－b的夹角为(　 ) A．60° B．30° C．120° D．150° 答案：B 3．如图，在△ABC中，，的夹角与，的夹角的关系为________． 解析：根据向量夹角的定义可知向量，的夹角为∠BAC，而向量，的夹角为π－∠BAC，故二者互补． 答案：互补 逐点清(二)　向量数量积的定义 [多维度理解] 1．向量数量积的定义 一般地，当a与b都是非零向量时，称|a||b|·cos〈a，b〉为向量a与b的数量积(也称为内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． 两个非零向量a与b的数量积是一个实数． 2．向量数量积的性质 (1)|a·b|≤|a||b|； (2)a·a＝a2＝|a|2，即|a|＝； (3)a与b垂直的充要条件是它们的数量积为0，即a⊥b⇔a·b＝0. [细微点练明] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)向量数量积的运算结果是向量．(　 ) (2)设非零向量a与b的夹角为θ，则cos θ>0⇔a·b>0.(　 ) (3)|a·b|≤a·b.(　 ) 答案：(1)×　(2)√　(3)× 2．已知|a|＝5，|b|＝3，且a·b＝－12，则cos〈a，b〉的值为(　 ) A．－ B．－4 C．－ D． 解析：选C　由题意可知cos〈a，b〉＝＝－＝－. 3．若a与b满足|a|＝|b|＝1，〈a，b〉＝60°，则a·a＋a·b等于(　 ) A. B． C．1＋ D．2 解析：选B　由题意得a·a＋a·b＝|a|2＋|a||b|·cos 60°＝1＋＝，故选B. 4．已知等边三角形ABC的边长为1，设＝a，＝b，＝c，那么a·b＋b·c＋c·a＝(　 ) A．3 B．－3 C. D．－ 解析：选D　在等边三角形ABC中，有a·b＋b·c＋c·a＝1×1×cos 120°＋1×1×cos 120°＋1×1×cos 120°＝－.故选D. 5．已知单位向量e1，e2满足e1·e2＝，则向量e1，e2的夹角是________． 解析：设夹角为θ，易知|e1|＝1，|e2|＝1.∵e1·e2＝|e1||e2|cos θ＝，∴cos θ＝.∵θ∈[0，π]，故θ＝. 答案： 逐点清(三)　向量的投影与向量数量积的几何意义 [多维度理解] 1．投影向量或投影 如图(1)，设非零向量＝a，过A，B分别作直线l的垂线，垂足分别为A′，B′，则称向量为向量a在直线l上的投影向量或投影． 2．向量a在向量b上的投影 给定平面上的一个非零向量b，设b所在的直线为l，则a在直线l上的投影称为a在向量b上的投影，如图(2)． 一个向量在一个非零向量上的投影，一定与这个非零向量共线，但它们的方向既有可能相同，也有可能相反． 3．投影的数量 一般地，如果a，b都是非零向量，则称|a|cos〈a，b〉为向量a在向量b上的投影的数量. 投影的数量与投影的长度有关，但是投影的数量既可能是非负数，也可能是负数． 4．向量数量积的几何意义 两个非零向量a，b的数量积a·b，等于a在向量b上的投影的数量与b的模的乘积． 特别地，当e为单位向量时，a·e＝|a|cos〈a，e〉，即任意向量与单位向量的数量积，等于这个向量在单位向量e上的投影的数量． [细微点练明] 1．设向量a·b＝40，|b|＝10，则a在b上的投影的数量为(　 ) A．4 B．4 C．4 D．8＋ 解析：选A　a在b上的投影的数量为|a|cos〈a，b〉，∵a·b＝|a||b|cos〈a，b〉，∴|a|cos〈a，b〉＝＝＝4. 2．已知|b|＝3，a在b上的投影的数量为，则a·b的值为(　 ) A．3 B． C