7.3.5 已知三角函数值求角 （word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第三册（人教B版2019）

7．3.5　已知三角函数值求角(强基课—梯度进阶式教学) 课时目标 1．掌握利用三角函数线求角的方法，会由已知的三角函数值求角，并会用符号arcsin x，arccos x，arctan x表示角． 2．熟记一些比较常见的三角函数值及其在区间[－2π，2π]上对应的角． 1．已知正弦值，求角 对于正弦函数y＝sin x，如果已知函数值y(y∈[－1,1])，那么在上有唯一的x值和它对应，记为x＝arcsin_y. 2．已知余弦值，求角 对于余弦函数y＝cos x，如果已知函数值y(y∈[－1，1])，那么在[0，π]上有唯一的x值和它对应，记为x＝arccos_y. 3．已知正切值，求角 一般地，如果y＝tan x(y∈R)且x∈，那么对每一个正切值y，在开区间内，有且只有一个角x，使tan x＝y，记为x＝arctan_y. [基点训练] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)在区间上，满足条件sin x＝a的x有一个．(　 ) (2)在区间上，满足条件tan x＝a的x有一个．(　 ) (3)在区间上，满足条件cos x＝a的x有一个．(　 ) 答案：(1)×　(2)√　(3)× 2．下列说法错误的是(　 ) A．arcsin＝－ B．arcsin 0＝0 C．arcsin(－1)＝ D．arcsin 1＝ 解析：选C　根据已知正弦值求角的定义知arcsin(－1)＝－，故C项错误． 3．已知α是三角形的内角，且sin α＝，则α＝(　 ) A． B． C．或 D．或 解析：选C　因为α是三角形的内角，所以α∈(0，π)，当sin α＝时，α＝或，故选C． 题型(一)　已知正弦值求角 [典例1]　已知sin x＝－，求x. [解]　法一：由sin x＝－＜0可知，角x对应的正弦线方向朝下，而且长度为. 如图所示，可知角x的终边可能是OP，也可能是OP′. 又因为sin＝sin＝－，所以x＝＋2kπ或x＝＋2kπ，k∈Z. 法二：因为sin x＝－， 如图所示，由正弦函数的图象，知在[0,2π]内，sin＝sin＝－， 所以x＝＋2kπ或x＝＋2kπ，k∈Z. [变式拓展] 将本例条件改为sin x＝，试求x. 解：由sin x＝＞0可知，角x对应的正弦线方向朝上，而且长度为，如图所示，可知角x的终边可能是OP，也可能是OP′. 又因为sin ＝sin ＝， 所以x＝＋2kπ或x＝＋2kπ，k∈Z. [方法技巧] (1)给值求角问题，由于范围不同，所得的角可能不同，一定要注意范围条件的约束作用． (2)正弦函数值与角之间的对应关系 sin x＝a (|a|≤1) x∈ x∈[0,2π] x＝arcsin a 0≤a≤1 －1≤a＜0 x1＝arcsin a，x2＝π－arcsin a x1＝π－arcsin a，x2＝2π＋arcsin a [针对训练] 1．已知sin x＝. (1)当x∈时，求x的取值集合； (2)当x∈[0,2π]时，求x的取值集合； (3)当x∈R时，求x的取值集合． 解：(1)∵y＝sin x在上是增函数，且sin ＝，∴x＝，∴是所求集合． (2)∵sin x＝＞0，∴x为第一或第二象限角，且sin ＝sin＝， ∴在[0,2π]上符合条件的角有x＝或x＝， ∴x的取值集合为. (3)当x∈R时，x的取值集合为 . 题型(二)　已知余弦值求角 [典例2]　(1)已知cos α＝－，α∈，则α＝________. (2)已知cos＝，求x. [解析]　(1)由余弦函数在[0，π]上是减函数和cos α＝－可知， 在[0，π]内符合条件的角有且只有一个arccos， 即arccos∈[0，π]． 又∵cos α＝－<0， ∴arccos∈， ∴0<π－arccos<. ∴π<π＋π－arccos<， 即π<2π－arccos<. ∴α＝2π－arccos. [答案]　2π－arccos (2)由cos＝＞0，知角2x－对应的余弦线方向向右，且长度为. 如图所示，可知角2x－的终边可能是OP，也可能是OP′. 又因为cos＝cos＝，所以2x－＝－＋2kπ或2x－＝＋2kπ，k∈Z. 所以x＝＋kπ或x＝＋kπ，k∈Z. [方法技巧]　余弦函数值与角之间的对应关系 cos x＝a(|a|≤1) x∈[0，π] x∈[0,2π] x＝arccos a x1＝arccos a，x2＝2π－arccos a [针对训练] 2．若cos＝，则满足条件的角x的集合是________． 解析：因为cos＝，所以x－＝2kπ－或x－＝2kπ＋(k∈Z)，解得x＝2kπ或x＝2kπ＋(k∈Z)． 所以满足条件的角x的集合是. 答案： 3．求不