7.3.4 正切函数的性质与图象 （word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第三册（人教B版2019）

7．3.4　正切函数的性质与图象 (强基课—梯度进阶式教学) 课时目标 1．了解正切函数图象的画法，理解并掌握正切函数的性质． 2．能够利用正切函数的图象与性质解决相关问题．　　 正切函数的图象与性质 解析式 y＝tan x 图象 定义域 值域 R 奇偶性 奇函数 最小正周期 π 单调性 在每一个开区间(k∈Z)上都单调递增 对称性 对称中心(k∈Z) 微点助解 (1)正切函数在定义域上不具备单调性，但在每一个开区间(k∈Z)内是增函数，不能说函数在其定义域内是单调递增函数． (2)正切函数无单调递减区间，在每一个区间内都是递增的，并且每个单调区间均为开区间． (3)正切曲线在x轴上方的部分下凸，在x轴下方的部分上凸，画图时，要注意曲线的光滑性及凹凸性． (4)正切曲线是由被相互平行的直线x＝＋kπ，k∈Z所隔开的无穷多支曲线组成的，这些平行直线也称为正切曲线的渐近线，即无限接近但不相交． [基点训练] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)正切曲线是中心对称图形，有无数个对称中心．(　 ) (2)正切曲线有无数条对称轴，其对称轴是x＝kπ＋(k∈Z)．(　 ) (3)若x是第一象限角，则y＝tan x是增函数．(　 ) 答案：(1)√　(2)×　(3)× 2．函数y＝tan的最小正周期是(　 ) A．π B．2π C． D． 解析：选C　最小正周期为T＝＝. 3．函数y＝－tan x的单调递减区间是________． 解析：因为y＝tan x与y＝－tan x的单调性相反， 所以y＝－tan x的单调递减区间为(k∈Z)． 答案：(k∈Z) 4．函数y＝tan的定义域为________． 解析：由x－≠＋kπ，k∈Z，得x≠kπ＋，k∈Z，所以函数的定义域为. 答案： 题型(一)　正切函数的定义域和值域 [典例1]　(1)函数y＝的值域是(　 ) A．(－1,1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞) C．(－∞，1) D．(－1，＋∞) (2)函数y＝3tan的定义域为________． [解析]　(1)当－＜x＜0时，－1＜tan x＜0， ∴＜－1；当0＜x＜时，0＜tan x＜1， ∴≥1.即当x∈∪时， 函数y＝的值域是(－∞，－1)∪(1，＋∞)． (2)要使函数有意义应满足－≠kπ＋，k∈Z，得x≠－4kπ－，k∈Z. 所以函数的定义域为. [答案]　(1)B　(2) [方法技巧] 求正切函数定义域、值域的方法 (1)求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y＝tan x有意义，即x≠＋kπ，k∈Z. (2)求正切型函数y＝Atan(ωx＋φ)(A≠0，ω＞0)的定义域时，要将“ωx＋φ”视为一个“整体”．令ωx＋φ≠kπ＋，k∈Z，解得x. (3)处理正切函数值域问题时，应注意正切函数自身值域为R，将问题转化为某种函数的值域求解． [针对训练] 1．函数y＝tan的定义域是(　 ) A．，k∈Z B．，k∈Z C．，k∈Z D．，k∈Z 解析：选A　函数y＝tan中，－2x≠＋kπ，k∈Z.解得x≠－－，k∈Z，即定义域为，k∈Z. 2．函数y＝2tan，x∈的值域是(　 ) A．　　　　 B． C． D． 解析：选C　对于函数y＝2tan， ∵x∈，∴x－∈， ∴y＝2tan∈，故选C． 题型(二)　正切函数的周期性、奇偶性及对称性 [典例2]　(1)函数f(x)＝tan的周期为________． (2)已知函数y＝tan，则该函数图象的对称中心坐标为________． [解析]　(1)法一：定义法　∵tan＝tan，即tan＝tan，∴f(x)＝tan的周期是. 法二：公式法　f(x)＝tan的周期T＝. (2)由x－＝(k∈Z)得x＝＋(k∈Z)，所以图象的对称中心坐标为(k∈Z)． [答案]　(1)　(2)(k∈Z) [方法技巧] 1．函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)周期的求解方法 (1)定义法． (2)公式法：对于函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)，它的最小正周期T＝. (3)观察法(或图象法)：观察函数的图象，看自变量间隔多少函数值重复出现． 2．判定与正切函数有关的函数奇偶性的方法 先求函数的定义域，看其定义域是否关于原点对称，若其不关于原点对称，则该函数为非奇非偶函数；若其关于原点对称，再看f(－x)与f(x)的关系． [提醒]　y＝tan x，x≠kπ＋，k∈Z的对称中心坐标为，k∈Z. [针对训练] 3.若函数f(x)＝tan ωx(ω＞0)的图象的相邻两支截直线y＝1所得的线段长为，则f的值是(　 ) A．0　　　　　　　 B． C．1 D． 解析：选D　∵f(x)