7.3.3 余弦函数的性质与图象 （word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第三册（人教B版2019）

7．3.3　余弦函数的性质与图象(强基课—梯度进阶式教学) 课时目标 1．了解正弦函数与余弦函数图象的关系． 2．能借助图象理解余弦函数在[0,2π]上的性质． 3．掌握余弦型函数的图象变换及性质．　　 1．余弦函数的定义 对于任意一个角x，都有唯一确定的余弦cos x与之对应，所以y＝cos x是一个函数，一般称为余弦函数． 2．余弦函数的性质 性质 内容 定义域 R 值域 [－1,1] 周期性 T＝2kπ，k∈Z，最小正周期为2π 奇偶性 偶函数 单调区间 在[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)上递增，在[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)上递减 最值 x＝2kπ(k∈Z)时，取得最大值1； x＝2kπ＋π(k∈Z)时，取得最小值－1 对称性 对称轴为x＝ kπ，对称中心为，其中k∈Z 零点 ＋kπ(k∈Z) 3．余弦函数的图象 把正弦函数y＝sin x的图象向左平移个单位就得到余弦函数y＝cos x的图象，该图象称为余弦曲线． [基点训练] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)余弦函数y＝cos x(x∈R)的图象关于原点成中心对称．(　 ) (2)cos 1＞cos 2＞cos 3.(　 ) (3)如果函数y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为.(　 ) 答案：(1)×　(2)√　(3)√ 2．下列函数中，周期为的是(　 ) A．y＝sin x　　　　　　　 B．y＝sin 2x C．y＝cos D．y＝cos 4x 答案：D 3．函数y＝cos x，x∈R图象的一条对称轴是(　 ) A．x轴 B．y轴 C．直线x＝ D．直线x＝ 答案：B 4．函数y＝－2cos x的最大值为________，此时x＝____________. 解析：因为－1≤cos x≤1， 所以当cos x＝－1时，ymax＝－2×(－1)＝2. 此时x＝2kπ＋π，k∈Z. 答案：2　2kπ＋π，k∈Z 题型(一)　余弦函数的图象及变换 [典例1]　用“五点法”作出函数y＝cos，x∈的简图． [解]　列表如下： x － μ＝x＋ 0 π 2π y＝cos μ 1 0 －1 0 1 描点作图(如图)． [方法技巧] 在画函数y＝Acos(ωx＋φ)的图象时，所取的五点应由ωx＋φ＝0，，π，，2π来确定，而不是令x＝0，，π，，2π. [针对训练] 1．把函数y＝cos x的图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的，然后将图象沿x轴负方向平移个单位长度，得到的图象对应的解析式为(　 ) A．y＝sin 2x B．y＝－sin 2x C．y＝cos D．y＝cos 解析：选B　函数y＝cos x的图象上所有点的横坐标变为原来的(纵坐标不变)，得到y＝cos 2x的 图象，再把y＝cos 2x的图象沿x轴负方向平移个单位，得到y＝cos＝cos＝－sin 2x的图象． 2.已知函数f(x)＝Acos(ωx＋θ)的图象如图所示，则f＝(　 ) A．0 B．－1 C．－ D．－2 解析：选B　由题图得A＝±2，周期T＝＝π，∴ω＝2，∴f(x)＝Acos(2x＋θ)．又f(0)＝Acos θ＝，0≤θ≤，∴A＝2，θ＝.∴f(x)＝2cos，从而可求得f＝2cos＝－1. 题型(二)　余弦型函数的最值(值域)问题 [典例2]　求下列函数的值域： (1)y＝cos，x∈； (2)y＝cos2x－4cos x＋5. [解]　(1)由x∈可得x＋∈， 因为函数y＝cos x在区间上单调递减， 所以函数的值域为. (2)y＝cos2x－4cos x＋5，令t＝cos x，则－1≤t≤1. y＝t2－4t＋5＝(t－2)2＋1， 当t＝－1时，函数取得最大值10； 当t＝1时，函数取得最小值2. 所以函数的值域为[2,10]． [方法技巧] 余弦型函数最值(值域)问题的三种常见类型及求解方法 (1)形如y＝acos x型，可利用余弦函数的有界性，注意对a正负的讨论． (2)形如y＝Acos(ωx＋φ)＋b型，可先由定义域求得ωx＋φ的范围，然后求得cos(ωx＋φ)的范围，最后求得最值． (3)形如y＝Acos2x＋Bcos x＋C(A≠0)型，可利用换元思想，设t＝cos x，转化为二次函数y＝At2＋Bt＋C求最值．t的范围需要根据定义域来确定． [针对训练] 3．函数f(x)＝－2cos x＋1，x∈的值域是(　 ) A．[1,3] B．[－1,3] C．[－3,1] D．[－1,1] 解析：选B　∵x∈，∴cos x∈[－1,1]， ∴－2cos x＋1∈[－1,3]． 4．函数y＝