7.3.2 第2课时 y＝Asin(ωx＋φ)的性质及应用 （word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第三册（人教B版2019）

第2课时　y＝Asin(ωx＋φ)的性质及应用　 (深化课—题型研究式教学) 课时目标 1．掌握函数y＝Asin(ωx＋φ)的周期、单调性及最值的求法． 2．理解函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称性，会利用函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称性解决一些简单问题． 正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0，ω>0)的性质 定义域 R 值域 [－A＋b，A＋b] 最值 ymax＝A＋b，该最大值对应的自变量可由ωx＋φ＝2kπ＋(k∈Z)解得； ymin＝－A＋b，该最小值对应的自变量可由ωx＋φ＝2kπ－(k∈Z)解得 周期性 最小正周期T＝ 奇偶性 当φ＝kπ(k∈Z)且b＝0时，函数为奇函数； 当φ＝kπ＋(k∈Z)时，函数为偶函数； 当φ≠(k∈Z)或φ＝kπ(k∈Z)但b≠0时，函数为非奇非偶函数 单调性 单调递增区间可由2kπ－≤ωx＋φ≤2kπ＋(k∈Z)得到；单调递减区间可由2kπ＋≤ωx＋φ≤2kπ＋(k∈Z)得到 对称性 其图象的对称轴可由ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)得到； 其图象的对称中心的纵坐标为b，横坐标可由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)得到 题型(一)　函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调性 [典例1]　(1)将函数f(x)＝sin(ω>0)的图象向左平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，若函数y＝g(x)在上单调递增，则ω的最小值为(　 ) A．2 B． C．3 D．4 (2)函数y＝2sin＋1的单调递增区间为________． [解析]　(1)因为函数f(x)＝sin(ω>0)的图象向左平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，所以g(x)＝f＝sin＝sin＝cos ωx. 当x∈时，ωx∈，因为函数y＝g(x)在上单调递增， 所以有k∈Z⇒4k＋2≤ω≤⇒k＝0,2≤ω≤，因此ω的最小值为2. (2)y＝2sin＋1＝－2sin＋1，要求y＝2sin＋1的单调递增区间，即求函数y＝sin的单调递减区间．由2kπ＋≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z.故所求函数y＝2sin＋1的单调递增区间为，k∈Z. [答案]　(1)A　(2)，k∈Z [方法技巧] 求单调区间的基本方法——基本函数法 用“基本函数法”求函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)或y＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的单调区间的步骤： 　　 [针对训练] 1．已知函数f(x)＝sin(0<ω<2)，若函数f(x)在区间上为减函数，则实数ω的取值范围是(　 ) A． B． C． D． 解析：选B　因为π<x<，所以ωπ－<ωx－<－.由题意及正弦函数的单调性可得解得＋2k≤ω≤＋，k∈Z.又0<ω<2，令k＝0，可得≤ω≤，故选B． 2．函数y＝1＋sin，x∈[－4π，4π]的单调递减区间为______________________． 解析：y＝1＋sin＝－sin＋1. 由2kπ－≤x－≤2kπ＋(k∈Z)，解得4kπ－≤x≤4kπ＋(k∈Z)．又∵x∈[－4π，4π]， ∴函数y＝1＋sin的单调递减区间为 ，，. 答案：，， 题型(二)　函数y＝Asin(ωx＋φ)的最值问题 [典例2]　(1)若函数f(x)＝asin＋b(a>0)的值域为[－3,5]，则ab＝(　 ) A．－4　　　 B．4　　　 C．－3　　　 D．3 (2)已知f(x)＝2sin－3(ω＞0)，最小正周期是π.求f(x)的最值，以及取得最值时相应x的集合． [解析]　(1)因为sin∈[－1,1]，所以f(x)∈[－a＋b，a＋b]，a>0. 由题意得所以故ab＝4. [答案]　B (2)由T＝＝π，得ω＝2.所以f(x)＝2sin－3，则函数f(x)的最大值为2－3＝－1，此时2x＋＝2kπ＋，k∈Z，则x＝kπ＋，k∈Z， 即自变量x的取值集合是； 函数f(x)的最小值为－2－3＝－5，此时2x＋＝2kπ－，k∈Z，则x＝kπ－，k∈Z， 即自变量x的取值集合是. [方法技巧] 求函数y＝Asin(ωx＋φ)，x∈[m，n]的值域一般是令u＝ωx＋φ，并求u的取值范围；令y＝sin u(注意u的取值范围)，结合y＝sin x的值域求解．　　 [针对训练] 3．若f(x)＝2sin ωx(0<ω<1)在区间上的最大值是，则ω＝________. 解析：∵x∈，且0<ω<1，∴0≤ωx≤<. ∵f(x)max＝2sin＝， ∴sin＝，＝，即ω＝. 答案： 4．求函数y＝2sin的最大值和最小值． 解：∵－≤x≤，∴0≤2x＋≤.∴0≤sin≤1.∴当sin＝1时，ymax＝2； 当sin＝0时，ymin＝0. 题型(三)　函数y＝Asin(ωx＋φ)的奇偶性与周期性及对称性 [