7.3.1 第1课时 正弦函数的性质 （word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第三册（人教B版2019）

7.3.1　正弦函数的性质与图象 第 1 课时　正弦函数的性质(强基课—梯度进阶式教学) 课时目标 1．结合正弦函数的定义和正弦线，理解正弦函数的定义域和值域、单调性等性质． 2．结合诱导公式，理解函数的奇偶性、周期性、零点等性质． 3．会判断简单函数的奇偶性，利用比较正弦函数的单调性比较函数值大小、求函数的最值、值域等． 1．正弦函数的定义 对于任意一个角x，都有唯一确定的正弦sin x与之对应，因此y＝sin x是一个函数，一般称为正弦函数． 2．正弦函数的性质 (1)定义域与值域 ①正弦函数y＝sin x的定义域为R，值域为[－1,1]． ②当且仅当x＝＋2kπ，k∈Z时，函数y＝sin x的最大值ymax＝1；当且仅当x＝＋2kπ，k∈Z时，函数y＝sin x的最小值ymin＝－1. (2)奇偶性 正弦函数y＝sin x是奇函数，其图象关于原点中心对称． (3)周期性 ①周期函数的定义：一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得对定义域内的每一个x，都满足f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数f(x)为周期函数，非零常数T称为这个函数的周期． ②最小正周期：对于一个周期函数f(x)，如果在它的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就称为f(x)的最小正周期． ③正弦函数y＝sin x是一个周期函数，2kπ(k∈Z，k≠0)都是它的周期，它的最小正周期为2π. (4)单调性 一般地，正弦函数y＝sin x在区间(k∈Z)上递增，在(k∈Z)上递减． (5)零点 正弦函数y＝sin x的零点为kπ(∈Z)． [基点训练] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若sin＝sin，则是函数y＝sin x的一个周期．(　 ) (2)所有的周期函数都有最小正周期．(　 ) (3)函数y＝是奇函数．(　 ) 答案：(1)×　(2)×　(3)× 2．函数y＝2cos是(　 ) A．周期为π的奇函数 B．周期为π的偶函数 C．周期为2π的奇函数 D．周期为2π的偶函数 解析：选A　y＝2cos＝－2sin 2x，它是周期为π的奇函数． 3．若sin x＝2m＋1且x∈R，则m的取值范围是________． 解析：因为－1≤sin x≤1，sin x＝2m＋1，所以－1≤2m＋1≤1，解得－1≤m≤0. 答案：[－1,0] 题型(一)　正弦函数的奇偶性与周期性 　　　　　　　　　　　　　　　　 [典例1]　(1)函数y＝cos是(　 ) A．最小正周期为π的奇函数 B．最小正周期为π的偶函数 C．最小正周期为2π的奇函数 D．最小正周期为2π的偶函数 (2)在下列函数中，不是周期函数的是(　 ) A．y＝－sin x B．y＝|sin x| C．y＝sin|x| D．y＝sin x＋1 [解析]　(1)∵函数y＝cos＝－sin 2x， ∴函数是最小正周期为π的奇函数． (2)对于A，－sin(2π＋x)＝－sin x，∴y＝－sin x的最小正周期为2π；对于B，|sin(x＋π)|＝|－sin x|＝|sin x|，∴y＝|sin x|的最小正周期为π；对于D，sin(x＋2π)＋1＝sin x＋1，∴y＝sin x＋1的最小正周期为2π.所以A、B、D均为周期函数，故选C． [答案]　(1)A　(2)C [方法技巧] (1)定义法求函数的周期：紧扣周期函数的定义．寻求对定义域内的任意x都满足f(x＋T)＝f(x)的非零常数T，该方法主要适用于抽象函数． (2)定义法判断函数的奇偶性：从f(－x)的解析式中拼凑出f(x)的解析式，再依据f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)来判断． [针对训练] 1．已知函数f(x)＝sin πx，则它的最小正周期为(　 ) A．2π B．π C．1 D．2 答案：D 2．已知函数f(x)＝ax3＋bsin x＋1，且f(1)＝5，则f(－1)＝________. 解析：由题知f(1)＝a＋bsin 1＋1＝5，所以a＋bsin 1＝4.从而f(－1)＝－a－bsin 1＋1＝－(a＋bsin 1)＋1＝－4＋1＝－3. 答案：－3 题型(二)　比较三角函数值大小 [典例2]　比较下列各组数的大小． (1)sin 194°和cos 160°； (2)sin和cos . [解]　(1)sin 194°＝sin(180°＋14°)＝－sin 14°. cos 160°＝cos(180°－20°)＝－cos 20°＝－sin 70°. ∵0°<14°<70°<90°， ∴sin 14°<sin 70°. 从而－sin 14°>－sin 70°，即sin 194°>cos 160°. (2)∵cos＝sin， 又<<π<＋<， y＝sin x在上是减函