7.2.4 第2课时 诱导公式⑤～⑧ （word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第三册（人教B版2019）

第2课时　诱导公式⑤～⑧(强基课—梯度进阶式教学) 课时目标 1．理解公式⑤～⑧的推导过程并熟记诱导公式，理解和掌握公式的内涵及结构特征． 2．会初步运用诱导公式求三角函数的值，并进行简单三角函数式的化简． 1．角α与－α的三角函数值之间的关系(公式⑤) (1)角－α与角α的终边关于直线 y＝x对称．如图所示． (2)公式⑤：sin＝cos_α，cos＝sin_α. 2．其他一些三角函数值之间的关系 公式⑥：sin＝cos_α，cos＝－sin_α. 公式⑦：cos＝sin_α，sin＝－cos_α. 公式⑧：cos＝－sin_α，sin＝－cos_α. 3．三角形中的诱导公式 在△ABC中，有以下结论： (1)sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C， (2)cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cos C， (3)tan(A＋B)＝tan(π－C)＝－tan C， (4)sin＝sin＝cos ， (5)cos＝cos＝sin . 微点助解 1．对诱导公式的理解 诱导公式可概括为“奇变偶不变，符号看象限”． (1)“变”与“不变”是针对互余关系的函数名而言的，正弦变余弦、余弦变正弦． (2)“奇”“偶”是对k·±α(k∈Z)中的整数k来讲的． (3)“象限”指k·±α(k∈Z)中，将α看成锐角时，k·±α(k∈Z)所在的象限，根据“一全正，二正弦，三正切，四余弦”的符号规律确定原函数值的符号． 2．诱导公式的变形 (1)sin＝cos＝cos. (2)cos＝sin. [基点训练] 1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)cos＝cos α.(　 ) (2)sin＝－cos α.(　 ) (3)若cos 10°＝a，则sin 100°＝A．(　 ) (4)若α为第二象限角，则sin＝－cos α.(　 ) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 2．已知sin＝，那么cos α＝(　 ) A．－ B．－ C． D． 解析：选C　由sin＝sin＝cos α，得cos α＝. 3．计算：sin211°＋sin279°＝________. 解析：sin211°＋sin279°＝sin211°＋cos211°＝1. 答案：1 题型(一)　利用诱导公式化简求值 [典例1]　(1)已知cos(π＋α)＝，则sin的值为(　 ) A． B．－ C． D．－ (2)已知sin＝，则cos的值为________．　 [解析]　(1)因为cos(π＋α)＝－cos α＝，所以sin＝－cos α＝.故选C． (2)cos＝cos ＝sin＝. [答案]　(1)C　(2) [变式拓展] 1．本例(2)的条件变为“sin＝”，求cos的值． 解：∵＋＝，∴cos ＝cos＝－sin＝－. 2．本例(2)中的条件不变，求cos的值． 解：cos＝cos ＝－sin＝－. [方法技巧] 解决化简求值问题的策略 (1)首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系． 2可以将已知式进行变形，向所求式转化，或将所求式进行变形，向已知式转化. [提醒]　常见的互余关系有－α与＋α，＋α与－α等；常见的互补关系有＋θ与－θ，＋θ与－θ等. [针对训练] 1．若sin＝，则sin－cos＝(　 ) A．0 B． C． D． 解析：选B　依题意，令＋α＝t，则sin t＝，－α＝π－＝π－t，＋α＝＋＋α＝＋t，所以sin－cos＝sin(π－t)－cos＝sin t＋sin t＝2sin t＝. 2．已知cos 31°＝m，则sin 239°tan 149°的值是(　 ) A． B． C．－ D．－ 解析：选B　sin 239°tan 149°＝sin(180°＋59°)·tan(180°－31°)＝－sin 59°(－tan 31°)＝－sin(90°－31°)(－tan 31°)＝－cos 31°(－tan 31°)＝sin 31°＝＝. 题型(二)　三角恒等式的证明问题 [典例2]　求证：＝. [证明]　因为右边＝ ＝ ＝ ＝ ＝＝＝左边， 所以原等式成立． [方法技巧]　三角恒等式证明的策略 遵循的原则 在证明时一般从左边到右边，或从右边到左边，或左右归一，总之，应遵循化繁为简的原则 常用的方法 定义法，化弦法，拆项拆角法，公式变形法，“1”的代换法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法 [针对训练] 3．求证：＝－tan θ. 证明：因为左边＝ ＝＝－tan θ＝右边，所以原等式成立． 题型(三)　诱导公式的综合应用 [典例3]　已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边