7.2.4 第1课时 诱导公式①～④ （word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第三册（人教B版2019）

7．2.4　诱导公式 第1课时　诱导公式①～④ (强基课—梯度进阶式教学)　 课时目标 1．借助圆的对称性理解诱导公式①～④的推导过程． 2．识记诱导公式，理解和掌握公式的内涵和结构特征． 3．会初步利用诱导公式进行求值、化简与证明．　　 诱导公式 公式① 终边相同 sin(α＋2kπ)＝sin_α(k∈Z) cos(α＋2kπ)＝cos_α(k∈Z) tan(α＋2kπ)＝tan_α(k∈Z) 公式② 终边关于x轴对称 sin(－α)＝－sin_α cos(－α)＝cos_α tan(－α)＝－tan_α 公式③ 终边关于 y轴对称 sin(π－α)＝sin_α cos(π－α)＝－cos_α tan(π－α)＝－tan_α 公式④ 终边关于 原点O对称 sin(π＋α)＝－sin_α cos(π＋α)＝－cos_α tan(π＋α)＝tan_α 微点助解 (1)公式①～④中的角α可以是任意角，如sin[π＋(2x－3)]＝－sin(2x－3)． (2)判断函数值的符号时，虽然把角α当作锐角，但实际上，对于正弦与余弦的诱导公式，角α可以为任意角；对于正切的诱导公式，α的终边不能落在y轴上，即α≠kπ＋(k∈Z)． (3)诱导公式既可以用弧度制表示，也可以用角度制表示． [基点训练] 1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)利用诱导公式④可以把第三象限角的三角函数化为第一象限角的三角函数．(　 ) (2)利用诱导公式②可以把负角的三角函数化为正角的三角函数．(　 ) (3)公式tan(α－π)＝tan α中，α＝不成立．(　 ) 答案：(1)√　(2)√　(3)√ 2．cos(π＋x)等于(　 ) A．cos x B．－cos x C．sin x D．－sin x 解析：选B　由诱导公式，得cos(π＋x)＝－cos x. 3．化简cos(3π－α)＝(　 ) A．cos α B．－cos α C．sin α D．－sin α 解析：选B　cos(3π－α)＝cos[2π＋(π－α)]＝cos(π－α)＝－cos α. 4．计算：sin 210°＝(　 ) A． B．－ C． D．－ 解析：选D　sin 210°＝sin(180°＋30°)＝－sin 30°＝－，故选D． 题型(一)　给角求值问题 [典例1]　求下列各三角函数值． (1)cosπ；(2)sin；(3)tan(－855°)． [解]　(1)cosπ＝cos＝cosπ ＝cos＝cos＝. (2)sin＝－sin＝－sin ＝－sin＝－. (3)tan(－855°)＝－tan 855° ＝－tan(2×360°＋135°)＝－tan 135° ＝－tan(180°－45°)＝tan 45°＝1. [方法技巧] 利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤 “负化正” 用公式①或②来转化 “大化小” 用公式①将角化为0°到360°间的角 “小化锐” 用公式③或④将大于90°的角转化为锐角 “锐求值” 得到锐角的三角函数后求值 [针对训练] 1．求值：cos(－120°)·sin(－150°)＋tan 855°. 解：原式＝cos 120°·(－sin 150°)＋tan 855° ＝－cos(180°－60°)·sin(180°－30°)＋tan(135°＋2×360°)＝cos 60°·sin 30°＋tan 135° ＝cos 60°·sin 30°＋tan(180°－45°) ＝cos 60°·sin 30°－tan 45°＝×－1＝－. 题型(二)　给值求值问题 [典例2]　已知cos＝，求下列各式的值． 　 [解]　(1)cos＝cos ＝－cos＝－. (2)cos＝cos ＝cos＝cos＝. [变式拓展] 若本例的条件不变，求cos－sin2的值． 解：因为cos＝cos ＝－cos＝－， sin2＝sin2＝1－cos2 ＝1－2＝， 所以cos－sin2＝－－＝－. [方法技巧]　解决给值求值问题的两个技巧 [针对训练] 2.已知＝3，求tan(5π－α)的值． 解：∵ ＝ ＝＝3， ∴sin α＝－. ∴当α为第三象限角时，cos α＝－，tan α＝； 当α为第四象限角时，cos α＝，tan α＝－. ∴tan(5π－α)＝tan(π－α)＝－tan α＝±. 题型(三)　化简求值问题 [典例3]　设k为整数，化简： .　 [解]　法一：分类讨论　当k为偶数时，设k＝2m(m∈Z)， 则原式＝＝＝＝－1； 当k为奇数时，设k＝2m＋1(m∈Z)，同理可得原式＝－1. 综上，＝－1. 法二：配角法　由于kπ－α＋kπ＋α＝2kπ，(k＋1)π＋α＋(k－1)π