7.2.2 单位圆与三角函数线 （word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第三册（人教B版2019）

7.2.2　单位圆与三角函数线(强基课—梯度进阶式教学) 课时目标 1．了解三角函数线的意义，能用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切． 2．能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题． 1．单位圆 定义 一般地，在平面直角坐标系中，坐标满足x2＋y2＝1的点组成的集合称为单位圆 P的坐标 如果角α的终边与单位圆的交点为P，则P的坐标为(cos α，sin α)．这就是说，角α的余弦和正弦分别等于角α终边与单位圆交点的横坐标和纵坐标 2．三角函数线 设角α的顶点与原点重合，始边与x轴正半轴重合，终边与单位圆相交于点P，过点P作PM垂直于x轴于M. 由三角函数的定义知点P(cos α，sin α)，其中cos α＝±||，sin α＝±||，设单位圆与x轴的正半轴交于点A，单位圆在A点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T，则tan α＝±||.我们称，，分别为α的余弦线、正弦线、正切线． 各象限内的三角函数线如下表所示： 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 图形 微点助解 三角函数线的理解 (1)余弦线、正弦线、正切线都是三角函数线，它们分别是余弦函数、正弦函数、正切函数的几何表示． (2)三角函数线是与以坐标原点为圆心的单位圆有关的有向线段，在作三角函数线时，一定要先作以坐标原点为圆心的单位圆． (3)三角函数线是有向线段(规定了起点和终点的线段)，在用字母表示这些线段时，要注意它们的方向，分清起点和终点，书写顺序不能颠倒．也可用这样的规律：凡含原点的有向线段，都以原点为起点；不含原点的有向线段，都以此有向线段与坐标轴的公共点为起点． (4)三角函数值可用三角函数线表示，其绝对值就是三角函数线的长，正负号可以这样确定：正弦线、正切线的方向与纵轴的正方向相同时为正值，相反时为负值；余弦线的方向与横轴的正方向相同时为正值，相反时为负值． [基点训练] 1.如图，在单位圆中角α的正弦线、正切线完全正确的是(　 ) A．正弦线，正切线 B．正弦线，正切线 C．正弦线，正切线 D．正弦线，正切线 答案：C 2．下列角的正切线不存在的是(　 ) A．－　　 B．　　　 C．　　 D． 解析：选B　因为的终边落在y轴的非负半轴上，故正切线不存在． 3．若角α的余弦线长度为，且方向与x轴负方向相同，则cos α＝________. 解析：因为α的余弦线方向与x轴负方向相同，所以cos α<0，所以cos α＝－. 答案：－ 题型(一)　作已知角的三角函数线 [典例1]　分别作出和－的正弦线、余弦线和正切线． [解]　如图(1)，在平面直角坐标系中作单位圆 以及直线x＝1，单位圆与x轴交于点A(1,0)． 作的终边与单位圆的交点P，过P作x轴的垂线，垂足为M，延长线段PO，交直线x＝1于T， 则的正弦线为，余弦线为 ，正切线为 同理可作出－的正弦线、余弦线和正切线，如图(2)． －的正弦线为，余弦线为，正切线为. [方法技巧] 三角函数线的作法 (1)作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作x轴的垂线，得到垂足，从而得到正弦线和余弦线． (2)作正切线时，应从点A(1,0)引单位圆的切线交角的终边于一点T，即可得到正切线.要特别注意，当角的终边在第二或第三象限时，应将角的终边反向延长，再按上述作法来作正切线． [针对训练] 1．画出的正弦线、余弦线和正切线，并求出相应的函数值． 解：如图所示，其中sin＝－，cos＝－，tan＝. 题型(二)　利用三角函数线比较大小 [典例2]　利用三角函数线比较下列各组数的大小： (1)sin 和sin ；(2)cos 和cos ； (3)tan 和tan . [解]　如图所示，设的终边与单位圆交于点P1，的终边与单位圆交于点P2. (1)过点P1作P1M1垂直x轴于点M1，过点P2作P2M2垂直x轴于点M2，则，分别是，的正弦线． ∵||>||，且与的方向都与y轴的正方向相同，∴sin>sin. (2)易知，分别是，的余弦线． ∵||<||，且与的方向都与x轴的正方向相反，∴cos>cos. (3)过点A(1,0)作x轴的垂线，交的终边的反向延长线于点T1，交的终边的反向延长线于点T2，则，分别是，的正切线．∵||＞||，且与的方向都与y轴的正方向相反，∴tan<tan. [方法技巧] 利用三角函数线比较同名三角函数值大小的策略 (1)sin α与sin β：作出以坐标原点为圆心的单位圆，分别作出角α，β的终边与单位圆的交点P1，P2，然后比较P1，P2两点纵坐标的大小即可得sin α与sin β的大小． (2)cos α与cos β：作出以坐标原点为圆心的单位圆，分别作出角α，β的终边与单位圆的交点P1，P2，然后比较P1，