7.2.1 三角函数的定义 （word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第三册（人教B版2019）

7．2.1　三角函数的定义 (强基课—梯度进阶式教学)　　 课时目标 1．借助单位圆理解任意角的三角函数的定义． 2．能利用定义求三角函数值及参数值．　　 (一)任意角的正弦、余弦与正切的定义 前提 如图，对于任意角α来说，设P(x，y)是α终边上异于原点的任意一点，r＝ 定义 正弦 称为角α的正弦，记作sin α，即sin α＝ 余弦 称为角α的余弦，记作cos α，即cos α＝ 正切 称为角α的正切，记作tan α，即tan α＝ 三角函数 对于每一个角α，都有唯一确定的正弦、余弦与之对应；当α≠＋kπ(k∈Z)时，有唯一的正切与之对应．角α的正弦、余弦与正切，都称为α的三角函数 微点助解 (1)任意角的三角函数是在坐标系中定义的，角的范围是使函数有意义的实数集． (2)当α＝＋kπ(k∈Z)时，α的终边在y轴上，这时点P的横坐标x＝0，所以tan α＝无意义． (3)三角函数的记号是一个整体，离开α的sin，cos，tan等是无意义的，如sin α表示的是一个比值而不是sin与α的积． (4)因为角的集合与实数集之间可以建立一一对应的关系，所以三角函数可以看成是自变量为实数或其子集的函数． [基点训练] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若α的终边与x轴负半轴重合，则tan α不存在．(　 ) (2)若α是第二象限角，且P(x，y)是其终边上一点，则cos α＝－.(　 ) (3)正切函数y＝tan x的定义域为.(　 ) 答案：(1)×　(2)×　(3)× 2．已知角α的终边经过点P，则tan α＝(　 ) A． B．－ C． D．－ 答案：B (二)正弦、余弦与正切在各象限的符号 (1)当且仅当α的终边在第一、二象限，或y轴正半轴上时，sin α＞0；当且仅当α的终边在第三、四象限，或y轴负半轴上时，sin α＜0. (2)当且仅当α的终边在第一、四象限，或x轴正半轴上时，cos α＞0；当且仅当α的终边在第二、三象限，或x轴负半轴上时，cos α＜0. (3)当且仅当α的终边在第一、三象限时，tan α＞0；当且仅当α的终边在第二、四象限时，tan α＜0. 微点助解 (1)由三角函数的定义知，sin α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0)(r>0)，可知角的三角函数值的符号是由角终边上任一点P(x，y)的坐标确定的，则准确确定角的终边位置是判断三角函数值符号的关键． (2)要熟记三角函数值在各象限的符号规律，可简记为一全正，二正弦，三正切，四余弦． [基点训练] 1．已知角α是第二象限的角，则cos α的值一定(　 ) A．小于零 B．大于零 C．等于零 D．不确定 答案：A 2．若<α<π，则点Q(cos α，sin α)位于(　 ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案：B 题型(一)　利用定义求三角函数值 [典例1]　(1)已知角α的终边过点，则sin α＝(　 ) A．－ B．± C．± D．± (2)已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴正半轴重合，终边在直线3x－y＝0上，则角α的余弦值为(　 ) A． 　　　 B．± C． 　　　 D．± 　　　　　　　　　　　　 [解析]　(1)由题意，得2＋y2＝1. ∴y＝±.∴sin α＝y＝±.故选C． (2)因为角α的终边在直线3x－y＝0上，则角α在第一象限或第三象限，可设点(x0,3x0)为角α的终边上一点，所以cos α＝±＝±. [答案]　(1)C　(2)D [方法技巧] (1)利用定义求三角函数的值，先由点的坐标求r，然后再利用三角函数的定义求出相应的三角函数值． (2)在解决有关角的终边在直线上的问题时，应注意角的终边为射线，所以应分两种情况处理．取射线上异于原点的任意一点的坐标(a，b)，则对应角的三角函数值． [针对训练] 1．已知角α的终边经过点M(1，)，则cos α＝(　 ) A． B． C． D． 解析：选B　由三角函数的定义可得cos α＝＝. 2．已知角α的顶点与坐标原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合．若角α终边上一点P的坐标为，则sin αtan α＝(　 ) A．－ B．－ C． D． 解析：选A　由P，得P.则sin α＝＝，tan α＝＝－.故sin αtan α＝－. 3．已知角α的终边落在直线2x＋y＝0上，求sin α，cos α，tan α的值． 解：直线2x＋y＝0，即y＝－2x， 经过第二、第四象限． 在第二象限取直线上的点(－1,2)， 则r＝＝3. 所以sin α＝，cos α＝－，tan α＝－2. 在第四象限取直线上的点(1，－2)， 则r＝ ＝3. 所以sin α＝－，