7.1.2 弧度制及其与角度制的换算 （word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第三册（人教B版2019）

7.1.2　弧度制及其与角度制的换算 (概念课—逐点理清式教学) 课时目标 1．了解弧度制下，角的集合与实数集之间的一一对应关系． 2．明确圆周角度数和弧度数，有助于熟练掌握角度与弧度的互化． 3．掌握弧长公式和扇形面积公式，熟悉特殊角的弧度数． 逐点清(一)　弧度制 [多维度理解] 1．度量角的两种制度 角度制 定义 用度作单位来度量角的制度称为角度制 规定 1度等于60分，1分等于60秒 弧度制 定义 以弧度为单位来度量角的制度称为弧度制 1弧度的角 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角为1弧度的角，记作1 rad 2．弧度数的计算 微点助解 角度制与弧度制是两种不同的度量单位，在表示角时，二者不可混用. 角度制 用度作为单位来度量角的单位制 角的大小与半径无关 单位“°”不能省略 角的正负与方向有关 六十进制 弧度制 用弧度作为单位来度量角的单位制 角的大小与半径无关 单位“rad”可以省略 角的正负与方向有关 十进制 [细微点练明] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位．(　 ) (2)用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关．(　 ) (3)1°的角是周角的，1 rad的角是周角的.(　 ) (4)1 rad的角比1°的角要大．(　 ) 答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)√ 2．下列说法正确的是(　 ) A．1弧度的圆心角所对的弧长等于半径 B．大圆中1弧度的圆心角比小圆中1弧度的圆心角大 C．所有圆心角为1弧度的角所对的弧长都相等 D．用弧度表示的角都是正角 解析：选A　对于A，根据弧度的定义知，“1弧度的圆心角所对的弧长等于半径”，故A正确；对于B，大圆中1弧度的圆心角与小圆中1弧度的圆心角相等，故B错误；对于C，只有在同圆或等圆中，1弧度的圆心角所对的弧长是相等的，故C错误；对于D，用弧度表示的角也可以是负角或零角，故D错误． 3．时针经过四个小时，转过了(　 ) A． rad B．－ rad C． rad D．－ rad 解析：选B　因为时针顺时针旋转，转过一圈(12小时)的角度为－2π rad，所以时针经过四个小时，转过了·(－2π)rad＝－ raD． 4．若α＝－2 rad，则α的终边在(　 ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：选C　∵－π< －2<－，∴α是第三象限角．故选C． 逐点清(二)　弧度制与角度制的换算 [多维度理解] 1．弧度制与角度制的换算公式 设一个角的角度数为n，弧度数为α，则＝. 2．角度与弧度的互化 角度化弧度 弧度化角度 度数×＝弧度数 弧度数×＝角度数 360°＝2π_rad 2π rad＝360° 180°＝π_rad π rad＝180° 1°＝ rad≈0.017 45 rad 1 rad＝度≈57.30° 微点助解 角度与弧度互化的原则和方法 (1)原则：牢记180°＝π rad， 充分利用1°＝ rad,1 rad＝°进行换算． (2)方法：设一个角的弧度数为α，角度数为n，则α rad＝°；n°＝n· raD． [细微点练明] 1．(多选)下列转化结果正确的是(　 ) A．72°化成弧度是 B．－π化成角度是－660° C．－150°化成弧度是－π D．化成角度是15° 解析：选AD　因为72°＝72×＝，所以A正确．因为－π rad＝－600°，所以B不正确．因为－150°＝－ rad，所以C不正确．因为 rad＝15°，所以D正确． 2．下面关于弧度的说法，错误的是(　 ) A．弧长与半径的比值是圆心角的弧度数 B．一个角的角度数为n，弧度数为α，则＝ C．长度等于半径的倍的弦所对的圆心角的弧度数为 D．航海罗盘半径为10 cm，将圆周32等分，每一份的弧长为 cm 解析：选D　根据弧度数定义可知A正确；根据弧度与角度的转化关系，可知B正确；根据三角形关系可知，长度等于半径的倍的弦所对的圆心角为120°，即弧度数为，故C正确；圆周长为2πr＝20π cm,32等分后，每一份弧长为 cm，故D错误． 3．将下表中的角度和弧度互化： 角度 0° 30° 45° 120° 135° 150° 360° 弧度 π 答案： 角度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360° 弧度 0 π 2π 4．若两个角的差为1弧度，和为1°，则这两个角的弧度数分别为______． 解析：设这两个角的弧度数分别为α