7.1.1 角的推广（word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第三册（人教B版2019）

第七章 三角函数 　　　　　　　7.1.1　角的推广(概念课—逐点理清式教学) 课时目标 1．了解任意角的概念，区分正角、负角与零角． 2．了解象限角的概念，理解并掌握终边相同的角的概念，会用集合表示这些角． 逐点清(一)　角的概念的推广 [多维度理解] 1．角的概念的推广 一条射线绕其端点旋转到另一条射线所形成的图形称为角，这两条射线分别称为角的始边和终边． 2．按旋转方向可将角分为如下三类 类型 定义 图示 正角 按照逆时针方向旋转而成的角 负角 按照顺时针方向旋转而成的角 零角 当射线没有旋转时，我们也把它看成一个角，称为零角 3．角的加、减运算 对于两个任意角α，β，将角α的终边旋转角β，这时终边所对应的角称为α与β的和，记作α＋β.射线OA绕端点O分别按逆时针方向、顺时针方向旋转相同的量所成的两个角称为互为相反角．角α的相反角记为－α，于是有α－β＝α＋(－β)． 微点助解 解读任意角的概念 (1)角的概念推广后，角度的范围不再限于0°～360°(0°～360°是指0°≤α<360°)． (2)确定任意角的度数关键看终边旋转的方向和圈数 ①表示角时，箭头的方向代表角的正负，因此箭头不能丢掉；顺时针旋转形成负角常常容易被忽视． ②当角的始边相同时，若角相等，则终边相同；终边相同，而角不一定相等． (3)正确认识零角 ①射线未作任何旋转时形成了零角；②零角的始边和终边一定重合，但始边与终边重合的角不一定是零角，只有没作任何旋转，始边与终边重合的角才是零角． [细微点练明] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)小于90°的角都是锐角．(　 ) (2)终边与始边重合的角为零角．(　 ) (3)大于90°的角都是钝角．(　 ) (4)相等的角终边相同．(　 ) (5)手表时针走过2小时，时针转过的角度为－60°.(　 ) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√ 2.如图，圆O的圆周上一点P以A为起点按逆时针方向旋转，10 min转一圈，24 min之后OP从起始位置OA转过的角是(　 ) A．－864° B．432° C．504° D．864° 解析：选D　因为点P以A为起点按逆时针方向旋转，10 min转一圈，所以点P逆时针方向旋转1 min转的度数为＝36°， 则24 min之后OP从起始位置OA转过的角为36°×24＝864°. 3．在平面直角坐标系中，取角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴的非负半轴，下列说法正确的是(　 ) A．第一象限角一定不是负角 B．三角形的内角是第一象限角或第二象限角 C．第一象限角一定是锐角 D．钝角的终边在第二象限 解析：选D　三角形的内角可能为90°，90°角不是第一象限角或第二象限角，故B错误；令α＝－300°＝60°－360°，显然α是第一象限角，但不是锐角，故A、C错误；钝角是大于90°且小于180°的角，它的终边在第二象限，故D正确． 4.如图，射线OA先绕端点O逆时针方向旋转60°到OB处，再按顺时针方向旋转820°至OC处，则β＝________. 解析：因为∠AOC＝60°＋(－820°)＝－760°，所以β＝－(760°－720°)＝－40°. 答案：－40° 逐点清(二)　象限角 [多维度理解] 1．象限角与终边相同的角 象限角 在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，角的始边落在x轴的正半轴上．这时，角的终边在第几象限，就把这个角称为第几象限角．如果终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限 终边相同的角 所有与α终边相同的角组成一个集合，这个集合可记为S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．即集合S的每一个元素的终边都与α的终边相同，k＝0时对应元素为α 微点助解 (1)角α为任意角，“k∈Z”不能省略． k有三层含义：①特殊性：对k每赋一个整数值就有一个具体对应的角．②一般性：表示所有与角α终边相同的角(包括α自身)．③从几何意义上看，k表示角的终边按一定的方向转动的圈数．k取正整数时，逆时针转动；k取负整数时，顺时针转动；k＝0时，没有转动． (2)k·360°与α中间要用“＋”连接，k·360°－α可理解成k·360°＋(－α)． (3)当角的始边相同时：相等的角的终边一定相同，而终边相同的角不一定相等；终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍；终边不同则表示的角一定不同． 2．象限角与轴线角(终边在坐标轴上的角)的集合表示 (1)象限角 象限角 集合表示 第一象限角 {α|k·360°<α<k·360°＋90°，k∈Z} 第二象限角 {α|k·360°＋90°<α<k·360°＋180°，k∈Z} 第三象限角 {α|k·360°＋180°<α<k·3