1.3正方形的性质与判定 同步训练 2023—2024学年北师大版数学九年级上册

正方形 【知识导航】 1.正方形的定义 有一组邻边相等的矩形是正方形；或有一个角是直角的菱形是正方形. 2.正方形的性质 正方形既是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形和菱形，因此它具有平行四边形、矩形和菱形的所有性质. 正方形的四条边 ，四个角都是 ； 正方形的对角线 且 . 注意：正方形得到两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形. 3.正方形的对称性 正方形是轴对称图形，两条对角线所在的直线，以及过每一组对边中点的直线都是它的对称轴. 4.正方形的判定 （1）先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等或对角线互相垂直. （2）先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角是直角或对角线相等. 【典例导思】 题型一 正方形的性质 例1 （1）如图，正方形ABCD的边长为2，对角线AC，BD交于点O，E是AC延长线上一点，且，则BE的长度是（    ）． A． B． C． D． （2）如图，在正方形中，对角线、相交于点O． E、F分别为、上一点，且，连接，，．若，则的度数为（    ） A．50° B．55° C．65° D．70° （3）如图，正方形ABCD的顶点A在直线l上，BE⊥直线l于点E，连接DE，若AE＝3，则△ADE的面积为 ． 【跟踪训练】 1.如图，在正方形中，点P在对角线上，，，E、F分别为垂足，连接、，若，则（　　）    A．3 B． C． D．5 2.如图，正方形ABCD中，以AB为边向形外作等边三角形ABE，连接CE，交BD于点F，连接AF．则∠BEC为 °；∠AFD为 °. 3.如图，正方形中，是上的一点，连接，过点作，垂足为点，延长交于点，连接. （1）求证：. （2）若正方形边长是5，，求的长. 题型二 正方形的判定 例2 如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M、N． （1）求证：∠ADB＝∠CDB； （2）若∠ADC＝90°时，求证：四边形MPND是正方形． 【跟踪训练】 4.下是关于某个四边形的三个结论：①它的对角线相等；②它是一个正方形；③它是一个矩形．下列推理过程正确的是（    ） A．由②推出③，由③推出① B．由①推出②，由②推出③ C．由③推出①，由①推出② D．由①推出③，由③推出② 5.如图所示，在正方形中，点M是对角线上的一个点．连接，过点M作交于点N，过点M作于点G，试说明，的数量关系． 解答思路是：过点M作垂线交于点F，构造与全等使得问题得到解决，请根据解答思路完成下面的作图与填空： (1)尺规作图：过点M作垂线交于点F（用基本作图，保留作图痕迹，不写作法，结论） (2)解：猜想： ∵四边形是正方形 ∴， ∵， ∴______①______， ∵ ∴______②______ ∴ ∴四边形是正方形 ∴______③______ ∴ ∵ ∴ ∴______④______ 在与中， ∴ ∴______⑥______ 【课时达标】 第一阶 基础夯实 1.如图，点在正方形的对角线上，若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 2．如图，小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件：①AB＝BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD，④AC⊥BD中任选两个作为补充条件，使▱ABCD为正方形．现有下列四种选法，你认为其中错误的是（　　） A．②③ B．①③ C．①② D．③④ 3.如图，在正方形中，E、F分别为边、上一点，且，连接，，平分交于点G．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．如图，在正方形中，为对角线、的交点，、分别为边、上一点，且，连接．若，，则的长为（    ） A． B． C． D．2 5.已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的有 .①当AB＝BC时，它是菱形；②当AC⊥BD时，它是菱形；③当∠ABC＝90°时，它是矩形；④当AC＝BD时，它是正方形． 6.（1）如图，正方形中，平分交于点E，点F是边上一点，连接．若，则的度数是 ；    第6（2）题 第6（1）题 （2）如图，F是正方形ABCD对角线BD上一点，连接AF，CF，并延长CF交AD于点E．若∠AFC＝140°，则∠DEC的度数为 . 7.（1）如图，正方形的面积为，点为边上一动点，点为边上一动点，连接、，点和点在运动的过程中始终保持，则的周长为 ；