专题02 实数【知识梳理+解题方法+专题过关】-2023-2024学年七年级数学下学期期中期末挑战满分冲刺卷（人教版）

专题02 实数 一．算术平方根的概念及表示方法 算术平方根 内容 示例 定义 一般地，如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根． 规定：0的算术平方根是0 ①因为，所以5是25的算术平方根； ②因为，所以是的算术平方根； ③因为，所以0.1是0.01的算术平方根 表示方法 非负数a的算术平方根记为，读作“根号a”，a叫做被开方数 7的算术平方根记为，7是被开方数 注意： ①算术平方根具有双重非负性：被开方数一定是非负数，即且． ②求一个数的算术平方根与求一个正数的平方恰好是互逆的两种运算． ③只有正数和0有算术平方根，负数没有算术平方根． ④实际上省略了中的根指数2，因此也读作“二次根号a”． 二．1~30的平方数 数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 平方 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 数 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 平方 121 144 169 196 225 256 289 324 361 400 数 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 平方 441 484 529 576 625 676 729 784 841 900 三．估算 对算术平方根的估算，通常取与被开方数最近的两个完全平方数的算术平方根相比较．例如：估算的大小，可以取和10最近的两个完全平方数9和16．因为，所以，即． 四．平方根的概念及性质 平方根 内容 示例 定义 一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根． 就是说，如果，那么x叫做a的平方根 因为，所以9的平方根是 表示方法 正数a的平方根表示为，读作“正、负根号a” 9的平方根记为，即 性质 ①正数有两个平方根，它们互为相反数；②0的平方根是0；③负数没有平方根 16的平方根是，0的平方根是0，没有平方根 注意： ①求一个数a的平方根的运算叫做开平方，其中a叫做被开方数． ②被开方数a一定是非负数（即正数或0）． ③平方与开平方是互逆运算． ④一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数． 五．算术平方根与平方根的区别与联系 算术平方根 平方根 区别 定义不同 一般地，如果一个正数的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根 如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根 个数不同 正数的算术平方根只有1个 正数的平方根有2个 表示方法不同 正数a的算术平方根表示为 正数a的平方根表示为 取值范围不同 正数的算术平方根一定是正数 正数的平方根为一正一负，互为相反数 算术平方根 平方根 联系 具有包含关系 平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根中的正的平方根 存在的条件相同 只有非负数才有平方根和算术平方根 特殊值0 0的平方根与算术平方根均为0 六．立方根的概念及性质 1．定义：一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果，那么x叫做a的立方根．例如，，那么5是125的立方根． 2．表示方法：一个数a的立方根，用符号“”表示，读作“三次根号a”，其中a是被开方数，3是根指数． 3．性质：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0． 七．立方根与平方根的区别和联系 平方根 立方根 区别 定义不同 如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根 如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根 个数不同 一个正数有两个平方根，它们互为相反数；负数没有平方根 一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根 表示方法不同 非负数a的平方根表示为，“”的根指数为2，可以省略不写 数a的立方根，用符号“”表示，这里的根指数3不能省略 被开方数的取值范围不同 中，被开方数a的取值范围是 中，被开方数a的取值范围是任意数 平方根 立方根 联系 运算关系 都与相应的乘方运算互为逆运算 转化条件 都可以归结为非负数的非负方根来研究，平方根主要通过算术平方根来研究，而负数的立方根也可以转化为正数的立方根来研究 0的方根 0的立方根和平方根都是0 注意： ①中的根指数3不能省略，若省略了就表示a的算术平方根了． ②利用“”可以把求一个负数的立方根转化为求一个正数的立方根的相反数． 八．开立方 求一个数的立方根的运算，叫做开立方．开立方与立方