8.2 一元线性回归模型及其应用（word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第三册（人教A版2019）

8．2　一元线性回归模型及其应用 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.了解模型参数的统计意义． 2.了解最小二乘原理． 3.掌握求一元线性回归模型参数的最小二乘估计方法． 4.理解残差分析的原理和方法． 5.针对实际问题，会用一元线性回归模型进行预测． 重点 难点 重点：一元线性经验回归方程的建立及应用． 难点：经验回归方程的应用. 1．一元线性回归模型 把式子称为Y关于x的一元线性回归模型．其中，Y称为因变量或响应变量，x称为自变量或解释变量；a和b为模型的未知参数，a称为截距参数，b称为斜率参数；e是Y与bx＋a之间的随机误差．如果e＝0，那么Y与x之间的关系就可用一元线性函数模型来描述． 2．一元线性回归模型参数的最小二乘估计 (1)经验回归直线 如果散点图中的点的分布从整体上看大致在一条直线附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系，将＝x＋称为Y关于x的经验回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线． (2)最小二乘估计 求经验回归方程时，使得各个散点到经验回归直线的竖直距离的平方之和最小的方法叫做最小二乘法，求得的，叫做b，a的最小二乘估计． ＝＝， ＝－，其中称为回归系数，实际上也就是经验回归方程的斜率；指的是所有解释变量的平均数，即＝(x1＋x2＋…＋xn)，＝(y1＋y2＋…＋yn)． (3)经验回归方程的性质 ①经验回归直线一定过样本点中心(，)； ②y与x正相关的充要条件是>0，y与x负相关的充要条件是<0； ③当x增大一个单位时，增大个单位，这就是回归系数的实际意义． 3．残差分析 (1)残差 对于响应变量Y，通过观测得到的数据称为观测值，通过经验回归方程得到的称为预测值，观测值减去预测值称为残差． (2)残差图 我们可以利用图形来分析残差特性，作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重的估计值等，这样作出的图形称为残差图． (3)残差分析 残差是随机误差的估计结果，通过对残差的分析可以判断模型刻画数据的效果，以及判断原始数据中是否存在可疑数据等，这方面工作称为残差分析． (4)决定系数R2 模型的公式为R2＝1－.R2越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好；R2越小，表示残差平方和越大，即模型的拟合效果越差． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)经验回归直线＝x＋恒过样本点中心(，)，且至少过一个样本点．(　 ) (2)在一元线性回归模型中，e是bx＋a与y的随机误差，它是一个可观测的量．(　 ) (3)在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越窄，其模型拟合的精度越高．(　 ) (4)回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法．(　 ) (5)利用样本点的散点图可以直观判断两个变量的关系是否可以用线性关系表示．(　 ) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√　(5)√ 2．设有一个经验回归方程为＝2－1.5x，则变量x增加一个单位时(　 ) A．y平均增加1.5个单位 B．y平均增加2个单位 C．y平均减少1.5个单位 D．y平均减少2个单位 答案：C 3．甲、乙、丙、丁四位同学各自对A，B两变量的线性相关性做试验，并分别求得相关系数r与残差平方和m如表： 项目 甲 乙 丙 丁 r 0.82 0.78 0.69 0.85 m 106 115 124 103 则________同学的试验结果体现A，B两变量更强的线性相关性． 解析：由图中数据可得丁的相关系数为0.85最大，更接近1，残差平方m最小，故丁同学的试验结果体现A，B两变量更强的线性相关性． 答案：丁 —————————————————————————————————— 经验回归方程 —————————————————————————————————————— [例1]　偏差是指个别测定值与测定的平均值之差，在成绩统计中，我们把某个同学的某科考试成绩与该科班平均分的差叫某科偏差(实际成绩－平均分＝偏差)．在某次考试成绩统计中，某老师为了对学生数学偏差x(单位：分)与物理偏差y(单位：分)之间的关系进行分析，随机挑选了8位同学，得到他们的两科成绩偏差数据如下： 学生序号 1 2 3 4 5 6 7 8 数学偏差x 20 15 13 3 2 －5 －10 －18 物理偏差y 6.5 3.5 3.5 1.5 0.5 －0.5 －2.5 －3.5 (1)若x与y之间具有线性相关关系，求y关于x的经验回归方程； (2)若该次考试该班数学平均分为120分，物理平均分为91.5分，试由(1)的结论预测数学成绩为128分的同学的物理成绩．(下面是参考数据和参考公