7.5 正态分布（word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第三册（人教A版2019）

7．5　正态分布 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.利用实际问题的直方图，了解正态曲线的特征和正态曲线所表示的意义． 2．能借助正态曲线的图象理解正态曲线的性质及意义． 3．会根据正态曲线的性质求随机变量在某一区间的概率． 重点 难点 重点：会应用3σ原则解决应用题，会求随机变量在特殊区间内的概率． 难点：理解正态分布随机变量的概率密度函数. 1．连续型随机变量 随机变量的取值充满某个区间甚至整个实轴，但取一点的概率为0，我们称这类随机变量为连续型随机变量． 2．正态分布 (1)正态曲线 函数f(x)＝e，x∈R.其中μ∈R，σ>0为参数．我们称f(x)为正态密度函数，称它的图象为正态密度曲线，简称正态曲线． (2)正态分布 若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为X～N(μ，σ2)．特别地，当μ＝0，σ＝1时，称随机变量X服从标准正态分布． 3．正态曲线的特点 (1)曲线位于x轴上方，与x轴不相交； (2)曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称； (3)曲线在x＝μ处达到峰值； (4)当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴； (5)对任意的σ>0，正态曲线与x轴之间区域的面积总为1； (6)在参数σ取固定值时，正态曲线的位置由μ确定，且随着μ的变化而沿x轴平移，如图甲所示； (7)当μ取定值时，正态曲线的形状由σ确定，当σ较小时，峰值高，曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；当σ较大时，峰值低，曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散，如图乙所示． 4．正态总体在三个特殊区间内取值的概率 P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682_7， P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954_5， P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997_3. 5．3σ原则 在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取[μ－3σ，μ＋3σ]中的值，这在统计学中称为3σ原则． 1．设随机变量X的正态分布密度函数为f(x)＝·e，x∈(－∞，＋∞)，则参数μ，σ的值分别是(　 ) A．μ＝3，σ＝2 B．μ＝－3，σ＝2 C．μ＝3，σ＝ D．μ＝－3，σ＝ 解析：选D　由正态分布密度函数表达式知μ＝－3，σ＝. 2．已知三个随机变量的正态密度函数fi(x)＝·e (x∈R，i＝1,2,3)的图象如图所示，则(　 ) A．μ1<μ2＝μ3，σ1＝σ2>σ3 B．μ1>μ2＝μ3，σ1＝σ2<σ3 C．μ1＝μ2<μ3，σ1<σ2＝σ3 D．μ1<μ2＝μ3，σ1＝σ2<σ3 解析：选D　因为正态密度函数f2(x)和f3(x)的图象关于同一条直线对称，所以μ2＝μ3.又f2(x)的图象的对称轴在f1(x)的图象的对称轴的右边，所以μ1<μ2＝μ3.因为σ越大，曲线越“矮胖”，σ越小，曲线越“瘦高”，由题图，可知正态密度函数f1(x)和f2(x)的图象一样“瘦高”，f3(x)的图象明显“矮胖”，所以σ1＝σ2<σ3. 3．若随机变量X～N(3，σ2)，且P(X>5)＝0.2，则P(1≤X≤5)等于(　 ) A．0.6 B．0.5 C．0.4 D．0.3 解析：选A　由于随机变量X～N(3，σ2)，则P(X<1)＝P(X>5)，因此，P(1≤X≤5)＝1－P(X<1)－P(X>5)＝1－2P(X>5)＝1－2×0.2＝0.6. —————————————————————————————————— 正态分布和正态曲线的性质 —————————————————————————————————————— [例1]　(1)设两个正态分布N(μ1，σ)(σ1>0)和N(μ2，σ)(σ2>0)的密度函数图象如图所示，则有(　 ) A．μ1<μ2，σ1<σ2 B．μ1<μ2，σ1>σ2 C．μ1>μ2，σ1<σ2 D．μ1>μ2，σ1>σ2 (2)如图为某地成年男性体重的正态曲线图，请写出其正态分布密度函数，并求P(|X－72|<20)． [解析]　(1)根据正态曲线的特点：正态分布曲线是一条关于直线x＝μ对称，在x＝μ处取得最大值的连续曲线；当μ一定时，σ越大，曲线的最高点越低且较平缓，反过来，σ越小，曲线的最高点越高且较陡峭．故选A. [答案]　A (2)由题图可知μ＝72，σ＝10，故正态分布密度函数为φμ，σ(x)＝e，x∈(－∞，＋∞)．则P(|X－72|<20)＝P(|X－μ|<2σ)＝P(μ－2σ<X<μ＋2σ)＝P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)－P(X＝μ＋2σ)＝0.954 5－0＝0.954 5. [方法技巧] 利用图象求正态密度函数的解析式，关键是找对称轴x＝μ与最值，这两点确定以后，相应参数μ，σ的值便确定了． [对点训练] 1．正态分布N1(μ1，σ)