7.4.2 超几何分布（word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第三册（人教A版2019）

7．4．2　超几何分布 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.理解超几何分布，能够判定随机变量是否服从超几何分布； 2．能够利用随机变量服从超几何分布的知识解决实际问题，会求服从超几何分布的随机变量的均值． 重点 难点 重点：超几何分布的概念及应用． 难点：超几何分布与二项分布的区别与联系. 1．超几何分布的概念 一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品．从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X＝k)＝，k＝m，m＋1，m＋2，…，r.其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}．如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布． 对超几何分布的理解 (1)“任取n件”应理解为“一次抽取n件”或“不放回地逐一抽取n件”，不能理解为“有放回地抽取n件”．这是区分二项分布与超几何分布的一个主要标准． (2)“X＝k”表示从含有M件次品的N件产品中抽取n件，其中含有k件次品这一随机事件．N件产品分为两类：次品，正品．所抽取的n件产品由这两类产品中的一部分组成，即CC种情况(基本事件数)，所以P(X＝k)＝. 2．超几何分布的均值 若随机变量X服从超几何分布，则E(X)＝. 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)超几何分布的总体往往由差异明显的两部分组成．(　 ) (2)超几何分布的模型是不放回抽样．(　 ) (3)超几何分布的随机变量是指从总体中所抽取的n个个体中某一类个体的数量．(　 ) (4)超几何分布中随机变量的取值一定从0开始．(　 ) (5)超几何分布中随机变量X的取值k的最大值是次品数M.(　 ) 答案：(1)√　(2)√　(3)√　(4)×　(5)× 2．一批产品共10件，次品率为20%，从中任取2件，则恰好取到1件次品的概率为(　 ) A. B. C. D. 解析：选B　由题意知10件产品中有2件次品，故所求概率为P(X＝1)＝＝. —————————————————————————————————— 超几何分布的概念 —————————————————————————————————————— [例1]　下列问题中，哪些属于超几何分布问题，请说明理由． (1)抛掷三枚骰子，所得向上的数是6的骰子的个数记为X，求X的分布列； (2)有一批种子的发芽率为70%，任取10颗种子做发芽实验，把实验中发芽的种子的个数记为X，求X的分布列； (3)盒子中有红球3个，黄球4个，蓝球5个，任取3个球，把不是红色球的个数记为X，求X的分布列； (4)某班级有男生25人，女生20人．选派4名学生参加学校组织的活动，班长必须参加，其中女生人数记为X，求X的分布列； (5)现有100台平板电脑未经检测，抽取10台送检，把检验结果为不合格的平板电脑的个数记为X，求X的分布列． [解]　(1)样本没有分类，是重复试验问题，不是超几何分布问题． (2)样本没有分类，是重复试验问题，不是超几何分布问题． (3)样本符合超几何分布的特征，样本都分为两类， 随机变量X表示抽取3件样本某类样本被抽取的件数，是超几何分布． (4)样本符合超几何分布的特征，样本都分为两类， 随机变量X表示抽取4件样本某类样本被抽取的件数，是超几何分布． (5)样本没有给出不合格产品数，无法计算X的分布列，所以不属于超几何分布问题． [方法技巧] “超几何分布”模型的识别、判断 “超几何分布”是常见的概率模型，广泛地取材于现实生活、生产实践中的问题，如产品中的合格品与不合格品、盒中的红球与黑球、学生中的男生与女生等等．应用“超几何分布”模型求概率，关键在于这种模型的识别与判断．具体来说，这类问题的特点为 (1)总体中含有两类不同的个体； (2)不放回抽取，且无先后顺序； (3)随机变量是指从总体中所抽取的n个个体中某一类个体的数量． [对点训练] 1．(多选)一袋中有除颜色、编号外完全相同的10个球，其中有6个黑球，编号为1,2,3,4,5,6，还有4个白球，编号为7,8,9,10，现从中任取4个球，则下列结论正确的是(　 ) A．取出的最大号码X服从超几何分布 B．取出的黑球个数Y服从超几何分布 C．取出2个白球的概率为 D．若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，则总得分最大的概率为 解析：选BD　由超几何分布的概念知A错误、B正确；对于C，取出2个白球的概率为P＝＝，故C错误；对于D，若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，则取出四个黑球的总得分最大，所以总得分最大的概率为P＝＝，故D正确． —————————————————————————————————— 超几何分布 ——————————————