7.4.1 二项分布（word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第三册（人教A版2019）

7．4．1　二项分布 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.通过具体实例，了解伯努利试验与n重伯努利试验． 2．通过具体实例，掌握二项分布及其数字特征，并能解决实际问题． 重点 难点 重点：用n重伯努利试验模型、二项分布模型解决一些简单的实际问题． 难点：利用二项分布模型解决实际问题. (一)伯努利试验 1．伯努利试验 我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验． 2．n重伯努利试验的特征 我们将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验．n重伯努利试验的共同特征： (1)同一个伯努利试验重复做n次； (2)各次试验的结果相互独立． ①每次试验是在同样条件下进行． ②每次试验都只有两种结果：发生与不发生． ③各次试验之间相互独立． ④每次试验，某事件发生的概率都是一样的． 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)伯努利试验只包含两个可能结果．(　 ) (2)n重伯努利试验中，各次试验结果之间没有影响．(　 ) (3)在n重伯努利试验中，各次试验中事件发生的概率可以不同．(　 ) (4)n重伯努利试验中事件A恰好发生k次与事件A恰好在第k次发生不一样．(　 ) 答案：(1)√　(2)√　(3)×　(4)√ (二)二项分布 1．二项分布的概念 一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n. 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)．X分布列如下表所示，其中q＝1－p. X 0 1 … k … n P Cp0qn Cp1qn－1 … Cpkqn－k … Cpnq0 2．二项分布的期望与方差 一般地，如果X～B(n，p)，那么E(X)＝np;_D(X)＝np(1－p)． 1．二项分布的特点 (1)对立性：即一次试验中只有两种结果——“成功”和“不成功”，而且有且仅有一个发生． (2)重复性：试验在相同条件下独立重复地进行n次，保证每一次试验中“成功”的概率和“不成功”的概率都保持不变． (3)X的取值从0到n，中间不间断． 2．二项分布中各个参数的意义 1．已知X～B(n，p)，E(X)＝8，D(X)＝1.6，则n＝________，p＝________. 解析：因为随机变量X～B(n，p)， 所以E(X)＝np＝8，D(X)＝np(1－p)＝1.6， 解得p＝0.8，n＝10. 答案：10　0.8 2．下列说法正确的是________． ①某同学投篮的命中率为0.6，他10次投篮中命中的次数X是一个随机变量，且X～B(10,0.6)； ②某福彩的中奖概率为p，某人一次买了8张，中奖张数X是一个随机变量，且X～B(8，p)； ③从装有5个红球、5个白球的袋中，有放回地摸球，直到摸出白球为止，则摸球次数X是随机变量，且X～B. 解析：①②显然满足n重伯努利试验的条件，而③虽然是有放回地摸球，但随机变量X的定义是直到摸出白球为止，即前面摸出的一定是红球，最后一次是白球，不符合二项分布的定义． 答案：①② —————————————————————————————————— 伯努利试验及其概率计算 —————————————————————————————————————— [例1]　某气象站天气预报的准确率为80%，计算：(结果保留到小数点后第2位) (1)“5次预报中恰有2次准确”的概率； (2)“5次预报中至少有2次准确”的概率． [解]　(1)记“预报一次准确”为事件A，则P(A)＝0.8.5次预报相当于5重伯努利试验． “恰有2次准确”的概率为 P＝C×0.82×0.23＝0.051 2≈0.05， 因此5次预报中恰有2次准确的概率约为0.05. (2)“5次预报中至少有2次准确”的对立事件为“5次预报全部不准确或只有1次准确”，其概率为 P＝C×0.25＋C×0.8×0.24＝0.006 72. 所以所求概率为1－P＝1－0.006 72≈0.99. 所以“5次预报中至少有2次准确”的概率约为0.99. [方法技巧]　伯努利试验求概率的3个步骤 判断 依据n重伯努利试验的特征，判断所给试验是否为独立重复试验 分拆 判断所求事件是否需要分拆 计算 就每个事件依据n重伯努利试验的概率公式求解，最后利用互斥事件概率加法公式计算 [对点训练] 1．一同学投篮每次命中的概率都是，该同学连续投篮5次，每次投篮相互独立． (1)求连续命中4次的概率； (2)求恰好命中4次的概率． 解：(1)设“连续命中4次”为事件A，则A包含“第1至第4次命中第5次没有命中”和“第1