7.3.2 离散型随机变量的方差（word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第三册（人教A版2019）

7．3．2　离散型随机变量的方差 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.通过具体实例，理解取有限值的离散型随机变量的方差和标准差的概念； 2．能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题； 3．掌握方差的性质以及两点分布的方差的求法． 重点 难点 重点：离散型随机变量的方差的含义． 难点：利用离散型随机变量的方差解决实际问题. 1．离散型随机变量的方差、标准差 设离散型随机变量X的分布列如下表所示. X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 则称D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝为随机变量X的方差，有时也记为Var(X)，并称 为随机变量X的标准差，记为σ(X)． 2．方差与标准差的意义 (1)离散型随机变量的方差和标准差反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度． (2)离散型随机变量的方差或标准差越小，随机变量越稳定． (3)方差与期望之间的关系为 D(X)＝E(X2)－[E(X)]2. 3．离散型随机变量方差的性质 (1)设a，b为常数，则D(aX＋b)＝a2D(X)； (2)D(c)＝0(其中c为常数)． 4．服从两点分布的随机变量的方差 若X服从两点分布，则D(X)＝p(1－p)(其中p为成功概率)． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)离散型随机变量的方差越大，随机变量越稳定．(　 ) (2)若a是常数，则D(a)＝0.(　 ) (3)离散型随机变量的方差反映了随机变量偏离于期望的平均程度．(　 ) 答案：(1)×　(2)√　(3)√ 2．若随机变量X服从两点分布， 且成功的概率p＝0.5, 则E(X)和D(X)分别为(　 ) A．0.5和0.25 B．0.5和0.75 C．1和0.25 D．1和0.75 答案：A 3．D(X－D(X))的值为(　 ) A．无法求　　B．0 C．D(X)　　D．2D(X) 答案：C 4．牧场的10头牛，因误食疯牛病毒污染的饲料被感染，已知该病的发病率为0.02，设发病牛的头数为X，则D(X)等于________． 答案：0.196 —————————————————————————————————— 离散型随机变量方差的性质 —————————————————————————————————————— [例1]　设随机变量X的分布列为 X －1 0 1 P 若Y＝2X＋2，则D(Y)等于(　 ) A．－ B. C. D. [解析]　由题意知，E(X)＝－1×＋0×＋1×＝－，故D(X)＝2×＋2×＋2×＝，D(Y)＝D(2X＋2)＝4D(X)＝4×＝. [答案]　D [方法技巧] 求随机变量函数Y＝aX＋b方差的方法 求随机变量函数Y＝aX＋b的方差，一种是先求Y的分布列，再求其均值，最后求方差；另一种是应用公式D(aX＋b)＝a2D(X)求解． [对点训练] 1．已知随机变量X的分布列为 X 0 1 x P p 若E(X)＝. (1)求D(X)的值； (2)若Y＝3X－2，求 的值． 解：由分布列的性质，得＋＋p＝1，解得p＝， ∵E(X)＝0×＋1×＋x＝， ∴x＝2. (1)D(X)＝2×＋2×＋2×＝＝. (2)∵Y＝3X－2，∴D(Y)＝D(3X－2)＝9D(X)＝5， ∴ ＝. —————————————————————————————————— 求离散型随机变量的方差 —————————————————————————————————————— [例2]　(1)设随机变量X的分布列为 X 1 2 3 4 P 则D(X)等于(　 ) A.　　B.　　C.　　D. (2)某运动员投篮命中率p＝0.8，则该运动员在一次投篮中命中次数X的方差为________． [解析]　(1)由题意知，E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＝，故D(X)＝2×＋2×＋2×＋2×＝. (2)依题意知，X服从两点分布，所以D(X)＝0.8×(1－0.8)＝0.16. [答案]　(1)C　(2)0.16 [方法技巧] 求离散型随机变量X的方差的步骤 (1)理解X的意义，写出X可能取的全部值； (2)求X取各个值的概率，写出分布列； (3)根据分布列，由期望的定义求出E(X)； (4)根据公式计算方差．　　 [对点训练] 2．有10张卡片，其中8张标有数字2,2张标有数字5，从中随机抽取3张卡片，设3张卡片上的数字之和为X，则D(X)等于(　 ) A．3.36 B. C．7.8 D．3.6 解析：选A　由题知X＝6,9,12. P(X＝6)＝＝，P(X＝9)＝＝， P(X＝12)