7.3.1 离散型随机变量的均值（word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第三册（人教A版2019）

7．3．1　离散型随机变量的均值 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.通过实例理解离散型随机变量均值的概念，能计算简单离散型随机变量的均值． 2．理解离散型随机变量均值的性质． 3．会利用离散型随机变量的均值，反映离散型随机变量取值水平，解决一些相关的实际问题． 重点 难点 重点：能计算简单离散型随机变量的均值． 难点：离散型随机变量均值的性质. 离散型随机变量的均值 1．离散型随机变量的均值的概念 一般地，若离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＝为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望．它反映了离散型随机变量取值的平均水平． (1)离散型随机变量的均值是刻画离散型随机变量取值的平均水平的指标； (2)由定义可知离散型随机变量的均值与它本身有相同的单位； (3)均值是一个常数，在大量试验下，它总是稳定的，不具有随机性． 2．离散型随机变量均值的性质 若X与Y都是随机变量，且Y＝aX＋b，则E(Y)＝aE(X)＋b. 1．随机变量X的分布列为 X －1 3 5 P 0.5 m 0.2 则其均值E(X)的值为(　 ) A．2.4 B．1.9 C．1.5 D．1.4 解析：选D　由分布列的性质，得m＝0.3，由均值的定义，得E(X)＝－1×0.5＋3×0.3＋5×0.2＝1.4. 2．已知m，n∈(0,1)，离散型随机变量ξ的分布列如下表： ξ 0 3m 2 P m n 若P＝，则E(ξ)＝(　 ) A. B. C. D. 解析：选C　由所给表格及离散型随机变量分布列的意义知，3m>，否则P＝m＋，与已知P＝矛盾，从而P(ξ＝0)＝P＝，m＝，又m＋＋n＝1，得n＝，所以E(ξ)＝0×m＋3m×＋2×n＝3××＋2×＝. 3．随机抛掷一枚骰子，则所得骰子点数ξ的均值为________． 解析：抛掷骰子所得点数ξ的分布列为 ξ 1 2 3 4 5 6 P E(ξ)＝1×＋2×＋3×＋4×＋5×＋6×＝(1＋2＋3＋4＋5＋6)×＝3.5. 答案：3.5 —————————————————————————————————— 离散型随机变量均值的性质及应用 —————————————————————————————————————— [例1]　(1)随机变量X的分布列如表，则E(5X＋4)＝(　 ) X 0 2 4 P 0.3 0.2 0.5 A．16　　B．11　　C．2.2　　D．2.3 (2)某射手射击所得环数ξ的分布列如表： ξ 7 8 9 10 P x 0.1 0.3 y 已知ξ的均值E(ξ)＝8.9，则y的值为________． [解析]　(1)由题意得E(X)＝0×0.3＋2×0.2＋4×0.5＝2.4，故E(5X＋4)＝5E(X)＋4＝5×2.4＋4＝16.故选A. (2)依题意得 即解得 [答案]　(1)A　(2)0.4 [方法技巧] 与离散型随机变量均值的性质有关问题的解题思路 若给出的随机变量ξ与X的关系为ξ＝aX＋b，a，b为常数．一般思路是先求出E(X)，再利用公式E(aX＋b)＝aE(X)＋b求E(ξ)．也可以利用X的分布列得到ξ的分布列，关键是由X的取值计算ξ的取值，对应的概率相等，再由定义法求得E(ξ)． [对点训练] 1．已知随机变量X的分布列如表： X －2 －1 0 1 2 P m (1)求m的值； (2)求E(X)； (3)若Y＝2X－3，求E(Y)． 解：(1)由随机变量分布列的性质，得＋＋＋m＋＝1，解得m＝. (2)E(X)＝(－2)×＋(－1)×＋0×＋1×＋2×＝－. (3)由题意，得E(Y)＝E(2X－3)＝2E(X)－3＝2×－3＝－. —————————————————————————————————— 两点分布的均值 —————————————————————————————————————— [例2]　某运动员投篮命中率为p＝0.6，求投篮1次时命中次数X的均值． [解]　法一：投篮1次，命中次数X的分布列为 X 0 1 P 0.4 0.6 则E(X)＝0×0.4＋1×0.6＝0.6. 法二：由题意，命中次数X服从两点分布， ∴E(X)＝p＝0.6. [方法技巧] 两点分布的均值 若随机变量X服从两点分布，则其分布列为 X 0 1 P 1－p p E(X)＝p. [对点训练] 2．设X是一个离散型随机变量，其分布列如下表，若