7.1.2 全概率公式（word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第三册（人教A版2019）

7．1．2　全概率公式 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.利用概率的加法公式和乘法公式推导全概率公式的过程； 2．理解全概率公式的形式，并会利用全概率公式计算概率； 3．了解贝叶斯公式以及公式的简单应用． 重点 难点 重点：利用全概率公式计算概率． 难点：理解全概率公式的形式. (一)全概率公式 一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1,2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝. 全概率公式为概率论中的重要公式，它将对一复杂事件B的概率求解问题转化为在不同情况下发生的简单事件的概率的求和问题．条件： (1)A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，并且可以构成一个完备的事件组，其和为全集． (2)已知事件B的发生有各种可能的情形，如果事件B发生是由原因Ai(i＝1,2，…，n)所引起的，则事件B发生的概率P(BAi)＝P(Ai)P(B|Ai)，每一原因都可能导致B发生，故B发生的概率是各原因Ai(i＝1,2，…，n)引起B发生概率的总和，这就是全概率公式，所以可以把全概率理解为“由原因推结果”，每个原因对结果的发生有一定的作用，也就是结果发生的可能性与各种原因的作用大小有关．全概率公式就是将复杂的概率事件转化为简单的各概率事件的和，是计算复杂概率问题的有力工具． (3)全概率也是条件概率． 1．甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，其产量分别占总量的25%,35%,40%，次品率分别为5%,4%,2%.从这批产品中任取一件，则它是次品的概率为(　 ) A．0.012 3 B．0.023 4 C．0.034 5 D．0.045 6 解析：选C　本题为简单的全概率公式的应用，从这批产品中任取一件，则它是次品的概率为0.25×0.05＋0.35×0.04＋0.4×0.02＝0.034 5. 2．设袋中共有10个球，其中2个红球，其余为白球，两人分别从袋中任取一球，则第二人取得红球的概率为________．(第一人取出的球不放回) 解析：设A＝“第二人取得红球”，B＝“第一人取得红球”，则P(B)＝，P()＝，P(A|B)＝， P(A|)＝，所以P(A)＝P(B)P(A|B)＋P()·P(A|)＝×＋×＝. 答案： (二)贝叶斯公式* 设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1,2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，P(B)>0,有P(Ai|B)＝＝，i＝1,2，…，n. (1)全概率公式用于求结果概率，即全概率公式是“由因索果”，贝叶斯公式是“由果索因”． (2)利用贝叶斯公式求概率时，通常先利用全概率公式计算出复杂事件B的概率P(B)． 一道考题有4个答案，要求学生将其中的一个正确答案选出来．某考生知道正确答案的概率为，在乱猜时，4个答案都有机会被他选择，若他答对了，则他确实知道正确答案的概率是(　 ) A. B. C. D. 解析：选B　设A表示“考生答对”，B表示“考生知道正确答案”，由全概率公式得P(A)＝P(B)P(A|B)＋P()P(A|)＝×1＋×＝.又由贝叶斯公式得P(B|A)＝＝＝. —————————————————————————————————— 全概率公式的理解 —————————————————————————————————————— [例1]　已知P()＝，P(|A)＝，P(B|)＝，求P()，P(|B)． [解]　因为P()＝，P(B|)＝， 所以P(A)＝，P(|)＝. 又因为P(|A)＝，由全概率公式， 得P()＝P(A)·P(|A)＋P()·P(|)＝×＋×＝， P(B)＝P()·P(B|)＝×＝. 又由P(B)＝1－P()＝， 所以P(|B)＝＝＝. [方法技巧] 全概率公式的使用要点 (1)如果所考虑问题的试验分两步，第一步试验结果可确定为样本空间的一个划分，求与第二步试验结果有关的事件的概率，此时可用全概率公式解决． (2)用全概率公式的关键是确定样本空间的一个划分，这可以从第一步试验的结果确定． [对点训练] 1．已知P(B)＝0.3，P＝0.9，P＝0.2，则P＝(　 ) A. B. C．0.33 D．0.1 解析：选A　由全概率公式可得P(B)＝P(A)·P(B|A)＋P()·P(B|)，即0.3＝P(A)×0.9＋(1－P(A))×0.2，解得P(A)＝. —————————————————————————————————— 全概率公式的实际应用 —————————————————————————————————————— [例2]　现有甲、乙两盒，甲盒中有3个红球，2个白球，乙盒中有2个红球，1个白球，先从甲盒中采用不