6.3.2 二项式系数的性质（word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第三册（人教A版2019）

6．3.2　二项式系数的性质 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.理解并掌握二项式系数的性质． 2.正确区分二项式系数和及二项式的和． 重点 难点 重点：理解二项式系数的性质并解决与二项展开式有关的问题． 难点：灵活运用二项式系数的性质. 二项式系数的性质 性质 内容 对称性 C＝C，即二项展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等 增减性与 最大值 如果二项式的幂指数n是偶数，那么展开式中间一项的二项式系数最大． 如果n为奇数，那么其展开式中间两项与的二项式系数相等且同时取得最大值 各二项式 系数的和 二项展开式中各二项式系数的和等于2n，即C＋C＋C＋…＋C＝2n 奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和，都等于2n－1，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1 (1)C＝C可以理解为从n个元素中取出m个不同的元素，则剩余n－m个元素，故从n个不同的元素中取出m个元素的方法数与取出n－m个元素的方法数相等． (2)因为C＝C，即＝，所以当>1，即k<时，C随k的增加而增大；由对称性知，当k>时，C随k的增加而减小． (3)在展开式(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋Can－2b2＋…＋Cbn中，令a＝b＝1，得2n＝C＋C＋C＋…＋C；令a＝1，b＝－1,0＝C－C＋C－C＋…＋(－1)kC＋…＋(－1)nC，所以C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1. 1．在(1＋x)n(n∈N*)的二项展开式中，若只有x5的系数最大，则n等于(　 ) A．8 B．9 C．10 D．11 解析：选C　由题意知(1＋x)n的二项展开式中，x5的系数就是第6项的系数，因为只有x5的系数最大，所以n＝10. 2．已知n的二项展开式的各项系数和为32，则二项展开式中x4的系数为(　 ) A．5 B．10 C．20 D．40 解析：选B　因为n的二项展开式的各项系数和为32，所以令x＝1得2n＝32，所以n＝5.所以5的二项展开式的第r＋1项Tr＋1＝C(x2)5－rr＝Cx10－3r，令10－3r＝4，得r＝2，故二项展开式中x4的系数为C＝10. 3．(2022·浙江高考)已知多项式(x＋2)(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则a2＝________，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝________. 解析：由多项式展开式可知，a2＝2C(－1)2＋C(－1)3＝12－4＝8.令x＝0可得a0＝2，令x＝1可得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝0，所以a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－2. 答案：8　－2 ——————————————————————————————————— 赋值法的应用 ————————————————————————————————————— [例1]　设(2－x)100＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a100x100，求下列各式的值． (1)求a0； (2)a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a100； (3)a1＋a3＋a5＋…＋a99； (4)(a0＋a2＋…＋a100)2－(a1＋a3＋…＋a99)2； (5)|a0|＋|a1|＋…＋|a100|. [解]　(1)令x＝0，则展开式为a0＝2100. (2)令x＝1， 可得a0＋a1＋a2＋…＋a100＝(2－)100，　① 所以a1＋a2＋…＋a100＝(2－)100－2100. (3)令x＝－1， 可得a0－a1＋a2－a3＋…＋a100＝(2＋)100.　② 与①式联立相减得 a1＋a3＋…＋a99＝. (4)由①②可得，(a0＋a2＋…＋a100)2－(a1＋a3＋…＋a99)2＝(a0＋a1＋a2＋…＋a100)(a0－a1＋a2－…＋a100)＝(2－)100·(2＋)100＝1. (5)|a0|＋|a1|＋…＋|a100|，即(2＋x)100的展开式中各项系数的和，在(2＋x)100的展开式中，令x＝1，可得各项系数的和为(2＋)100. [方法技巧] 赋值法是求二项展开式系数及有关问题的常用方法，注意取值要有利于问题的解决，可以取一个值或几个值，也可以取几组值，解决问题时要避免漏项．一般地，对于多项式f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，各项系数和为f(1)，奇次项系数和为[f(1)－f(－1)]，偶次项系数和为[f(1)＋f(－1)]，a0＝f(0)． [对点训练] 1．在①第三项的二项式系数与第六项的二项式系数相等；②展开式中二项式系数的和与所有项的系数和差为127；③前三项的系数绝对值和为99.这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答．已知(2x－1)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn. (1)求n； (2)求＋＋