专题07 因式分解压轴四大类型-【常考压轴题】2023-2024学年七年级数学下册压轴题攻略（苏科版）

专题07 因式分解压轴四大类型 题型一：运用提公因式法合公式法综合因式分解 题型二：十字相乘法因式分解 题型三：分组分解法 题型四：因式分解的应用 题型一：运用提公因式法合公式法综合因式分解 【典例1】（2023秋•西城区期末）分解因式： （1）xy3﹣xy； （2）2x2﹣20x+50． 【变式1-1】（2023春•鼓楼区校级期中）因式分解： （1）2mx2﹣4mx+2m； （2）25（m+n）2﹣9（m﹣n）2． 【变式1-2】（2023春•皇姑区校级期中）因式分解： （1）x2（a﹣b）+4（b﹣a）； （2）2x2﹣12xy+18y2． 【变式1-3】（2022秋•渑池县期末）因式分解： （1）18a2b﹣12ab2+2b3； （2）x2（x﹣3）+y2（3﹣x）． 题型二：十字相乘法因式分解 【典例2】（2023秋•普陀区校级期末）因式分解：a2﹣13a+36＝　　 ． 【变式2-1】（2023秋•璧山区期末）因式分解a2+a﹣6的结果是 　 　． 【变式2-2】（2023秋•浦东新区期末）因式分解：x2﹣8x+12＝　 　． 【变式2-3】（2023秋•河北区校级期末）把多项式x2﹣2x﹣35因式分解为 　 ． 题型三：分组分解法 【典例3】（2023秋•临潼区期末）阅读下列材料：数学研究发现常用的因式分解的方法有提取公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解，如：“m2﹣mn+2m﹣2n”，细心观察这个式子就会发现，前两项可以提取公因式，后两项也可提取公因式，前后两部分分别因式分解后产生了新的公因式，然后再提取公因式就可以完成整个式子的因式分解了，过程为m2﹣mn+2m﹣2n＝（m2﹣mn）+（2m﹣2n）＝m（m﹣n）+2（m﹣n）＝（m﹣n）（m+2）．此种因式分解的方法叫做“分组分解法”．请在这种方法的启发下，解决以下问题： （1）因式分解：a3﹣3a2+6a﹣18； （2）因式分解：ax+a2﹣2ab﹣bx+b2． 【变式3-1】（2023秋•青浦区校级期中）因式分解：4x3﹣2x2﹣9xy2﹣3xy． 【变式3-2】（2023秋•沙坪坝区校级期末）把下列各式因式分解： （1）﹣3ab3+6a2b2﹣3a3b； （2）x2﹣y2﹣ax+ay． 【变式3-3】（2023秋•武都区期末）常用的因式分解的方法有：提公因式法和公式法，但有的多项式用上述方法无法分解，例如x2﹣4y2﹣2x+4y，我们细心观察就会发现，前两项可以分解，后两项也可以分解，分别分解后会产生公因式，就可以完整分解了，具体分解过程如下： x2﹣4y2﹣2x+4y ＝（x2﹣4y2）﹣（2x﹣4y） ＝（x+2y）（x﹣2y）﹣2（x﹣2y） ＝（x﹣2y）（x+2y﹣2） 这种方法叫分组分解法，请利用这种方法对下列多项式进行因式分解： （1）mn2﹣2mn+2n﹣4； （2）x2﹣2xy+y2﹣16； （3）4x2﹣4x﹣y2+4y﹣3． 题型四：因式分解的应用 【典例4】（2023秋•钢城区期末）阅读材料：教科书中提到a2+2ab+b2和a2﹣2ab+b2这样的式子叫做完全平方式．”有些多项式不是完全平方式，我们可以通过添加项，凑成完全平方式，再减去这个添加项，使整个式子的值不变，这样也可以将多项式进行分解，并解决一些最值问题． 例如：（1）分解因式：x2﹣2x﹣3． x2﹣2x﹣3 ＝x2﹣2x+1﹣1﹣3 ＝（x﹣1）2﹣4 ＝（x﹣1）2﹣22 ＝（x﹣1+2）（x﹣1﹣2） ＝（x+1）（x﹣3）． （2）求代数式x2﹣2x﹣3的最小值． x2﹣2x﹣3＝x2﹣2x+1﹣4＝（x﹣1）2﹣4 ∵（x﹣1）2≥0， ∴当x＝1时，代数式x2﹣2x﹣3有最小值﹣4． 结合以上材料解决下面的问题： （1）若二次三项式x2﹣kx+9恰好是完全平方式，k的值是 　 ； （2）分解因式：x2﹣8x+15； （3）当x为何值时，x2﹣8x+15有最小值？最小值是多少？ 【变式4-1】（2022春•金东区期末）通常情况下，a+b不一定等于ab，观察下列几个式子： 第1个：2+2＝2×2； 第2个：3+＝3×； 第3个：4+＝4× … 我们把符合a+b＝ab的两个数叫做“和积数对”． （1）写出第4个式子． （2）写出第n个式子，并检验． （3）若m，n是一对“和积数对”，求代数式的值． 【变式4-2】（2023秋•哈密市期末）阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值． 解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0， ∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0 ∴（m﹣n）2+（n﹣4