第2章 5.1 第2课时 平面向量数量积及其运算性质的应用(深化课—题型研究式教学)（word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第二册（北师大版2019）

第2课时 平面向量数量积及其运算性质的应用 (深化课—题型研究式教学) 1.进一步掌握平面向量数量积的运算． 2．能运用数量积的运算性质和运算律解决模、垂直、夹角问题． 题型(一)　数量积的运算 [典例1]　(1)(2023·全国乙卷)正方形ABCD的边长是2，E是AB的中点，则·＝(　 ) A. B．3 C．2 D．5 (2)(2021·新课标Ⅱ卷)已知向量a＋b＋c＝0，|a|＝1，|b|＝|c|＝2，a·b＋b·c＋c·a＝________. [解析]　(1)由题意知，＝＋＝＋，＝＋＝－＋， 所以·＝·＝||2－||2＝4－1＝3，故选B. (2)法一：(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝0⇒2(a·b＋b·c＋c·a)＋9＝0⇒a·b＋b·c＋c·a＝－. 法二：由a＋b＝－c⇒a2＋b2＋2a·b＝c2⇒a·b＝－. 由a＋c＝－b⇒a2＋c2＋2a·c＝b2⇒a·c＝－. 由b＋c＝－a⇒b2＋c2＋2b·c＝a2⇒b·c＝－. ∴a·b＋b·c＋c·a＝－. [答案]　(1)B　(2)－ [方法技巧] 求平面向量数量积的步骤 (1)求a与b的夹角θ，θ∈[0，π]； (2)分别求|a|和|b|； (3)求数量积，即a·b＝|a||b|cos θ，要特别注意书写时a与b之间用实心圆点“·”连接，而不能用“×”连接，也不能省去． [针对训练] 1.如图，在△ABC中，AD⊥AB，＝，||＝2，则·＝(　 ) A．2 B．4 C．3 D. 解析：选B　根据向量的线性运算，结合平面向量数量积的定义可得·＝(＋)·＝·＋·，由AD⊥AB，可知·＝0，又因为＝ ，||＝2，所以·＝·＝||·||·cos∠ADB＝×2×||×＝4.故选B. 2．(2022·全国甲卷)设向量a，b的夹角的余弦值为，且|a|＝1，|b|＝3，则(2a＋b)·b＝________. 解析：(2a＋b)·b＝2a·b＋b2＝2|a|·|b|·cos〈a，b〉＋|b|2＝2×1×3×＋32＝11. 答案：11 题型(二)　向量的模 [典例2]　已知向量a与b夹角为45°，且|a|＝1，|2a＋b|＝，求|b|. [解]　因为|2a＋b|＝，所以(2a＋b)2＝10， 所以4a2＋4a·b＋b2＝10. 又因为向量a与b的夹角为45°且|a|＝1， 所以4×12＋4×1×|b|×＋|b|2＝10， 整理得|b|2＋2|b|－6＝0， 解得|b|＝或|b|＝－3(舍去)． [方法技巧] 求向量模的常见思路及方法 (1)求模问题一般转化为求模平方，与向量数量积联系，并灵活应用a2＝|a|2，勿忘记开方． (2)a·a＝a2＝|a|2或|a|＝，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化． (3)一些常见的等式应熟记，如(a±b)2＝a2±2a·b＋b2，(a＋b)·(a－b)＝a2－b2等． [针对训练] 3．已知向量a，b满足|a＋b|＝4，|a－b|＝2，则|a||b|的最大值是(　 ) A．3 B．4 C．5 D．6 解析：选C　∵|a＋b|＝4，|a－b|＝2，∴|a＋b|2＋|a－b|2＝2|a|2＋2|b|2＝20.∴|a|2＋|b|2＝10.∵(a－b)2≥0，∴|a|2＋|b|2≥2|a||b|.∴|a||b|≤5.∴|a||b|的最大值为5，故选C. 4．已知|p|＝2，|q|＝3，p，q的夹角为，则以a＝5p＋2q，b＝p－3q对应的线段为邻边的平行四边形的对角线的长度为________． 解析：以a，b对应的线段为邻边的平行四边形的对角线分别对应向量a＋b，a－b， 故|a＋b|＝|6p－q|＝ ＝ ＝15， |a－b|＝|4p＋5q|＝ ＝ ＝. 答案：15， 题型(三)　向量的夹角与垂直 [典例3]　已知a，b都是非零向量，且a＋3b与7a－5b垂直，a－4b与7a－2b垂直，求a与b夹角的大小． [解]　因为a，b都是非零向量， 由a＋3b与7a－5b垂直， 则(a＋3b)·(7a－5b)＝0， 即7a2＋16a·b－15b2＝0.　① 由a－4b与7a－2b垂直， 则(a－4b)·(7a－2b)＝0， 即7a2－30a·b＋8b2＝0.　② ①－②，得2a·b＝b2＝|b|2，　③ ③代入①，得|a|＝|b|. 设a与b夹角为θ，则cos θ＝＝＝， 因为θ∈[0，π]，所以θ＝. 所以a与b的夹角为. [方法技巧] 1．求向量夹角的方法 (1)求出a·b，|a|，|b|，代入公式cos θ＝求解． (2)用同一个量表示a·b，|a|，|b|，代入公式求解． (3)借助向量运算的几何意义，数形结合求夹角． 2．求向量夹角的注意点 要注意夹角θ的范围为[0，π]．