第2章 2.2 向量的减法(强基课—梯度进阶式教学)（word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第二册（北师大版2019）

2.2　向量的减法(强基课—梯度进阶式教学) 1.借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量的减法运算． 2．理解平面向量减法的几何意义，掌握向量减法的三角形法则． 3．利用相反向量的概念，理解减法运算是加法运算的逆运算． 1．向量减法的定义及几何意义 定义 向量a减向量b等于向量a加上向量b的相反向量，即a－b＝a＋(－b) 几何 意义 如图，给定向量a与b，作有向线段＝a，＝b，故－b＝，则a－b＝a＋(－b)＝＋＝＋＝，即如果把向量a与b的起点放在点O，那么从向量b的终点B指向被减向量a的终点A，得到的向量就是a－b 2．向量减法的性质 (1)零向量的相反向量仍是零向量，于是－0＝0. (2)互为相反向量的两个向量的和为0，即a＋(－a)＝(－a)＋a＝0. (3)若a＋b＝0，则a＝－b，b＝－a. 微点助解 (1)向量减法的实质是向量加法的逆运算．利用相反向量的定义，－＝，就可以把减法转化为加法． (2)两个向量作差的前提是将两个向量移到共同的起点． (3)向量减法满足三角形法则．如图，在用三角形法则作向量减法时，要注意“共起点，连终点，指向被减”．解题时要结合图形，准确判断，防止混淆． [基点训练] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个向量的差仍是一个向量．(　 ) (2)＝－.(　 ) (3)a－b的相反向量是b－a.(　 ) (4)|a－b|＜|a＋b|.(　 ) 答案：(1)√　(2)√　(3)√　(4)× 2．在△ABC中，＝a，＝b，则＝(　 ) A．|a＋b| B．a－b C．b－a D．－a－b 答案：C 3．在平行四边形ABCD中，－＋＝(　 ) A. B. C. D. 答案：A 题型(一)　向量减法法则的应用 [典例1]　(1)如图，已知向量a，b，c，d，求作向量a－b，c－d. (2)如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c. [解]　(1)如图所示，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，＝c，＝d，则a－b＝，c－d＝. (2)法一：如图①所示，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，则＝a＋b－c. 法二：如图②所示，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，连接OC，则＝a＋b－c. [方法技巧] 利用向量减法进行几何作图的方法 (1)已知向量a，b，如图①所示，作＝a，＝b，利用向量减法的三角形法则可得a－b，利用此方法作图时，把两个向量的起点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量． (2)利用相反向量作图，通过向量求和的平行四边形法则作出a－b.如图②所示，作＝a，＝b，＝－b，则＝a＋(－b)，即＝a－b. [针对训练] 1.如图，已知正方形ABCD的边长等于1，＝a，＝b，＝c，试作向量a－b＋c. 解：如图，连接BD， 则＝a－b，作向量＝c，连接DE， 则＝＋＝a－b＋c. 题型(二)　向量的加、减运算 [典例2]　化简下列各式： (1)(＋)＋(－－)； (2)－－； (3)(－)－(－)． [解]　(1)法一：原式＝＋＋＋＝(＋)＋(＋)＝＋＝. 法二：原式＝＋＋＋＝＋(＋)＋＝＋＋＝＋0. (2)法一：原式＝－＝. 法二：原式＝－(＋)＝－＝. (3)法一：(－)－(－)＝(＋)－(＋)＝－＝0. 法二：(－)－(－)＝(－)－(－)＝－＝0. 法三：在平面内任取一点O，则(－)－(－)＝(－)－(－)－[(－)－(－)]＝－－＋－＋＋－＝0. [方法技巧] 化简向量的和差的方法 (1)如果式子中含有括号，括号里面能运算的直接运算，不能运算的去掉括号． (2)可以利用相反向量把差统一成和，再利用三角形法则进行化简． (3)化简向量的差时注意共起点，由减数向量的终点指向被减数向量的终点． 提醒：利用图形中的相等向量代入、转化是向量化简的重要技巧． [针对训练] 2．在▱ABCD中，设＝a，＝b，＝c，＝d，则下列等式不正确的是(　 ) A．a＋b＝c B．a－b＝d C．b－a＝d D．c－a＝b 解析：选B　a＋b＝＋＝＝c，故A正确；a－b＝－＝＋＝＝－d，故B错误；b－a＝－＝＝d，故C正确；c－a＝－＝＝＝b，故D正确． 3．化简：(1)－－＋＋； (2)(＋＋)－(－－)． 解：(1)－－＋＋＝＋＋＋＋＝＋＝. (2)(＋＋)－(－－)＝＋＋－＋＋＝(＋)＋(－)＋(＋)＝＋＋0＝0. 题型(三)　用已知向量表示未知向量 [典例3]　如图，O是平行四边形ABCD的对角线AC，BD的交点，设＝a，＝b，＝c，用a，b，c表示. [解]　＝＋＝＋＋＝＋－＝c＋b－a. [方法技巧] 用已知向量表示未知向量的基本步骤 第一步：观察各向量的位置