第2章 2.1 向量的加法(强基课—梯度进阶式教学)（word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第二册（北师大版2019）

2.1　向量的加法(强基课—梯度进阶式教学) 1.借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量加法运算及运算规则． 2．理解平面向量加法的几何意义，会用向量的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量． 3．掌握向量加法的交换律和结合律，并会用它们进行向量的计算． (一)向量加法 1．向量加法的定义 求两个向量和的运算，称为向量的加法． 2．向量加法的两种法则 平行四边形法则 已知两个不共线的向量a，b，在平面内任取一点A，作有向线段＝a，＝b，以有向线段和为邻边作▱ABCD，则有向线段表示的向量即为向量a与b的和，记作a＋b.这种求两个向量和的作图方法称为向量加法的平行四边形法则 三角形法则 作有向线段＝a，以有向线段的终点为起点，作有向线段＝b，连接A，C得到有向线段，也可以表示向量a与b的和．这种求两个向量和的作图方法称为向量加法的三角形法则 微点助解 平行四边形法则与三角形法则的区别与联系 区别 (1)三角形法则中强调“首尾相接”，平行四边形法则中强调“共起点”． (2)三角形法则适用于所有的非零向量求和，而平行四边形法则仅适用于不共线的两个向量求和 联系 平行四边形法则与三角形法则在本质上是一致的．这两种求向量和的方法，通过向量平移能相互转化，解决具体问题时视情况而定 [基点训练] 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任意两个向量的和仍然是一个向量．(　 ) (2)对于任意两个向量，都可利用平行四边形法则求出它们的和向量．(　 ) (3)如果a，b是共线的非零向量，那么a＋b的方向必与a，b之一的方向相同．(　 ) 答案：(1)√　(2)×　(3)× (二)向量加法的运算律 结合 (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 交换律 a＋b＝b＋a 微点助解 (1)向量加法的交换律、结合律对任意向量都成立． (2)因为向量的加法满足交换律和结合律，所以多个向量的加法运算就可以按照任意的次序与任意的组合进行．如(a＋b)＋(c＋d)＝(a＋c)＋(b＋d)，a＋b＋c＋d＋e＝[d＋(a＋c)]＋(b＋e)． [基点训练] 1．在△ABC中，必有＋＋等于(　 ) A．0 B．0 C．任一向量 D．与三角形形状有关 答案：B 2．在正方形ABCD中，||＝1，则|＋|＝________. 答案： 题型(一)　向量加法法则的应用 [典例1]　(1)如图甲所示，求作向量和a＋b； (2)如图乙所示，求作向量和a＋b＋c. [解]　(1)首先作向量＝a，然后作向量＝b，则向量＝a＋b.如图所示． (2)法一：三角形法则 如图所示，首先在平面内任取一点O，作向量＝a，再作向量＝b，则得向量＝a＋b，然后作向量＝c，则向量＝(a＋b)＋c＝a＋b＋c. 法二：平行四边形法则 如图所示，首先在平面内任取一点O，作向量＝a，＝b，＝c，以OA，OB为邻边作▱OADB，连接OD，则＝＋＝a＋b.再以OD，OC为邻边作▱ODEC，连接OE，则＝＋＝a＋b＋c. [方法技巧] 用三角形法则求向量和，关键是抓住“首尾相连”，和向量是第一个向量的起点指向第二个向量的终点，平行四边形法则注意“共起点”．两种方法中，第一个向量的起点可任意选取，可在某一个向量上，也可在其他位置．两向量共线时，三角形法则仍适用，平行四边形法则不适用． [针对训练] 1．已知向量a，b，c，如图，求作a＋b＋c. 解：在平面内任取一点O，作＝a，＝b，＝c，如图，则由向量加法的三角形法则，得＝a＋b，＝a＋b＋c. 题型(二)　向量加法及其运算律 [典例2]　化简下列各式： (1)＋＋； (2)＋＋＋＋. [解]　 (1)法一：＋＋＝(＋)＋＝＋＝0. 法二：＋＋＝(＋)＋＝(＋)＋＝＋＝0. (2)＋＋＋＋ ＝＋＋＋＋ ＝＋＋＋ ＝＋＋ ＝＋ ＝0. [方法技巧] 向量加法运算的注意点 (1)可以利用向量的几何表示，画出图形进行化简或计算． (2)要灵活运用向量加法的运算律，注意各向量的起、终点及向量起、终点字母的排列顺序，特别注意勿将0写成0. [针对训练] 2.如图，在矩形ABCD中，O为AC与BD的交点，则＋＋＝(　 ) A.　　B.　　C.　　D. 解析：选B　由平面向量加法的三角形法则和平行四边形法则，得＋＋＝＋＝. 3.如图所示，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，则＋＋＝________. 解析：＋＋＝＋＋＝. 答案： 题型(三)　向量加法的实际应用 [典例3]　在静水中船的速度为20 m/min，水流的速度为10 m/min，如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，求船行进的方向． [解]　作出图形，如图．船速v船与岸的方向成α角，由图可知v水＋v船＝v实际，结合已知条件，四边形ABCD为平行四边形， 在Rt