第1章 §8 三角函数的简单应用(深化课—题型研究式教学)（word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第二册（北师大版2019）

§8　三角函数的简单应用(深化课—题型研究式教学) 1.体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型． 2．能够利用三角函数模型的图象和性质解决简单的实际问题． 题型(一)　已知三角函数图象解决应用问题 [典例1]　某市某日气温y(℃)是时间t(0≤t≤24，单位：时)的函数，下面是该天不同时间的气温预报数据： t/时 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y/℃ 15.7 14.0 15.7 20.0 24.2 26.0 24.2 20.0 15.7 根据上述数据描出的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似地看成函数y＝Asin(ωt＋φ)＋b(A>0，ω>0，|φ|<π)的图象． (1)根据以上数据，试求函数y＝Asin(ωt＋φ)＋b(A>0，ω>0，|φ|<π)的表达式； (2)大数据统计显示，某种特殊商品在室外销售可获得3倍于室内销售的利润，但对室外温度的要求是气温不能低于23 ℃，根据(1)中所得模型，一个24小时营业的商家想获得最大利润，应在什么时间段(用区间表示)将该种商品放在室外销售？(忽略商品搬运时间及其他非主要因素) [解]　(1)由函数图象，可得解得b＝20，A＝6. 又由＝15－3＝12，解得T＝24，所以ω＝＝. 因为t＝3时，可得y＝14，即6sin＋20＝14，解得sin＝－1， 即＋φ＝＋2kπ，k∈Z，所以φ＝＋2kπ，k∈Z. 又因为|φ|<π，所以φ＝－. 所以y＝6sin＋20，t∈[0,24]． (2)令y≥23，即6sin＋20≥23，可得sin≥， 则＋2kπ≤t－≤＋2kπ，k∈Z，解得11＋24k≤t≤19＋24k，k∈Z. 又因为t∈[0,24]，所以当k＝0 时，可得11≤t≤19. 所以一个24小时营业的商家想获得最大利润，应在t∈[11,19]时间段将该种商品放在室外销售． [方法技巧] 已知三角函数图象解决应用问题，首先由图象确定三角函数的解析式，其关键是确定参数A，ω，φ，同时在解题中注意各个参数的取值范围． [针对训练] 1.某用电器电流I(mA)随时间t(s)变化的关系式为I(t)＝Asin(ωt＋φ)，如图是其部分图象． (1)求I(t)＝Asin(ωt＋φ)的解析式； (2)若该用电器核心部件有效工作的电流|I|必须大于150 mA，则在1个周期内，该用电器核心部件的有效工作时间是多少？(电流的正负表示电流的正反方向) 解：(1)∵周期T＝2×＝， ∴ω＝＝150π. 又A＝300，∴I(t)＝300sin(150πt＋φ)． 将点代入上式，得sin＝0. 又|φ|<，∴φ－＝0，即φ＝. ∴I(t)＝300sin. (2)当t∈时，此时150πt＋∈. 令|I(t)|＝>150， 则sin>或sin<－， 即<150πt＋<或<150πt＋<， 解得0<t<或<t<. 由－0＝，－＝， 得在1个周期内，该用电器核心部件的有效工作时间是＋＝ s. 题型(二)　已知三角函数解析式解决应用问题 [典例2]　已知某地某天从6时到22时的温度变化曲线近似地满足函数y＝10sin＋20. (1)求该地这一天该时间段内温度的最大温差； (2)若有一种细菌在15 ℃到25 ℃之间可以存活，则在这段时间内，该细菌最多能存活多长时间？ [解]　(1)由x∈[6,22]，有x－∈. 当x－＝－或x－＝，即x＝6或x＝22时，y有最小值10，此时得到最低温度10 ℃； 当x－＝，即x＝14时，y有最大值30，此时得到最高温度30 ℃. 故该地这一天该时间段内温度的最大温差为30－10＝20 ℃. (2)由15≤10sin＋20≤25，得－≤sin≤. 由x－∈，有－≤x－≤或≤x－≤， 解得≤x≤或≤x≤，－＝，－＝， 故该细菌能存活的最长时间为小时． [方法技巧] (1)已知函数模型y＝Asin(ωx＋φ)＋b，观察图象和利用待定系数法可以求出解析式中的未知参数，从而确定函数解析式，其中，利用最大(小)值求A，b，利用周期求ω，利用特殊点求φ. (2)解决此类问题的关键是将图形语言转化为符号语言，其中，读图、识图、用图是数形结合的有效途径． [针对训练] 2．心脏跳动时，血压在增加或减少，血压的最大值、最小值分别称为收缩压、舒张压，血压计上的读数就是收缩压、舒张压，读数120/80 mmHg为标准值．设某人的血压满足P(t)＝115＋25sin(160πt)，其中P(t)为血压(mmHg)，t为时间(min)． (1)求此人每分钟心跳的次数； (2)求出此人的血压在血压计上的读数，并与标准值进行比较． 解：(1)函数P(t)＝115＋25sin(160πt)的最小正周期T＝＝，根据题意可知，在一个周期内，心脏跳动一次，所