第1章 7.3 正切函数的图象与性质(强基课—梯度进阶式教学)（word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第二册（北师大版2019）

7.3　正切函数的图象与性质(强基课—梯度进阶式教学) 1．了解正切函数图象的画法，理解并掌握正切函数的性质． 2．能够利用正切函数的图象与性质解决相关问题． 1．正切函数的图象 (1)正切函数y＝tan x在上的图象． (2)正切函数的图象称作正切曲线． (3)正切函数的图象特征：正切曲线是由被相互平行的直线x＝＋kπ(k∈Z)所隔开的无穷多支曲线组成的．这些直线称作正切曲线各支的渐近线． 2．正切函数的性质 函数 y＝tan x 定义域 值域 R 周期性 最小正周期π 奇偶性 奇函数 对称性 对称中心(k∈Z) 单调性 在区间(k∈Z)上单调递增 微点助解 (1)一般地，函数y＝Atan(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的最小正周期是T＝.若不知ω的正负，则该函数的最小正周期为T＝. (2)正切函数无单调递减区间，在每一个单调区间内都是单调递增的，并且每个单调区间均为开区间． (3)正切函数在定义域内不是单调函数． [基点训练] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)正切函数为定义域上的增函数．(　 ) (2)正切函数存在闭区间[a，b]，使y＝tan x是增函数．(　 ) (3)若x是第一象限的角，则y＝tan x是增函数．(　 ) (4)正切函数y＝tan x的对称中心为(kπ，0)(k∈Z)．(　 ) 答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 2.函数y＝2tan(－x)是(　 ) A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数，又是偶函数 D．非奇非偶函数 解析：选A　y＝2tan(－x)＝－2tan x，为奇函数． 3．函数y＝tan 2x的定义域为__________________． 解析：由正切函数的定义知，若使y＝tan 2x有意义，则2x≠kπ＋(k∈Z)，解得x≠＋(k∈Z)． 答案： 4．函数y＝tan x，x∈的值域是________． 解析： 函数y＝tan x在上是单调递增的，所以ymax＝tan＝1，ymin＝tan 0＝0. 答案：[0,1] 题型(一)　正切函数的图象及应用 [典例1]　(1)下列图形分别是①y＝|tan x|；②y＝tan x；③y＝tan(－x)在x∈内的大致图象，那么由a到c对应的函数关系式应是(　 ) A．①②③ B．①③② C．③②① D．③①② (2)函数y＝sin x与y＝tan x在区间上的交点个数是(　 ) A．3 B．4 C．5 D．6 [解析]　(1)y＝|tan x|≥0，其图象在x轴及其上方，只有图象a符合，即a对应①，排除C、D.易知y＝tan x在内的图象为图b，即b对应②，故排除B选项．y＝tan(－x)＝－tan x在上单调递减，只有图象c符合，即c对应③，故选A. (2)如图，函数y＝sin x与y＝tan x在区间上的交点个数是3. [答案]　(1)A　(2)A [方法技巧] 1．作正切函数的图象时，先画一个周期的图象，再把这一图象向左、右平移．从而得到正切函数的图象，通过图象的特点，可用“三点两线法”，这三点是，(0,0)，，两线是直线x＝±，为渐近线． 2．如果由y＝f(x)的图象得到y＝f(|x|)及y＝|f(x)|的图象，可利用图象中的对称变换法完成；即只需作出y＝f(x)(x≥0)的图象，令其关于y轴对称便可以得到y＝f(|x|)(x≤0)的图象；同理，只要作出y＝f(x)的图象，令图象“上不动，下翻上”便可得到y＝|f(x)|的图象． [针对训练] 1．函数f(x)＝2x－tan x在上的图象大致为(　 ) 解析：选D　∵f(x)为奇函数，∴排除B、C.当x趋近于时，f(x)趋近于－∞，故选D. 2．不等式－1≤tan x≤的解集为________． 解析：作出函数y＝tan x在区间上的图象，如图所示．观察图象可得，在内，满足条件的x的取值范围为－≤x≤.由正切函数的周期性知，不等式的解集为 . 答案： 题型(二)　正切函数的定义域和值域 [典例2]　(1)函数f(x)＝tan的定义域为(　 ) A. B. C. D. (2)函数y＝2tan，x∈的值域是(　 ) A．[－2,2] B．[－1,1] C．[－2，2] D．[－，1] [解析]　(1)由题意可知f(x)＝tan需满足2x＋≠＋kπ，k∈Z， 即x≠＋，k∈Z.故函数f(x)＝tan的定义域为，故选C. (2)∵x∈，∴x－∈， ∴y＝2tan∈[－2，2]，故选C. [答案]　(1)C　(2)C [方法技巧] 求正切函数定义域、值域的方法 (1)求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y＝tan x有意义，即x≠＋kπ，k∈Z. (2)求正切型函数