第1章 §6 第2课时 y＝Asin(ωx＋φ)的性质及应用(深化课—题型研究式教学)（word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第二册（北师大版2019）

第2课时　y＝Asin(ωx＋φ)的性质及应用(深化课—题型研究式教学) 1.掌握函数y＝Asin(ωx＋φ)的周期、单调性及最值的求法． 2．理解函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称性，会利用函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称性解决一些简单问题． 正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0，ω>0)的性质 定义域 R 值域 [－A＋b，A＋b] 最值 ymax＝A＋b，该最大值对应的自变量可由ωx＋φ＝2kπ＋(k∈Z)解得； ymin＝－A＋b，该最小值对应的自变量可由ωx＋φ＝2kπ－(k∈Z)解得 周期性 最小正周期T＝ 奇偶性 当φ＝kπ(k∈Z)且b＝0时，函数为奇函数； 当φ＝kπ＋(k∈Z)时，函数为偶函数； 当φ≠(k∈Z)或φ＝kπ(k∈Z)但b≠0时，函数为非奇非偶函数 单调性 单调递增区间可由2kπ－≤ωx＋φ≤2kπ＋(k∈Z)得到；单调递减区间可由2kπ＋≤ωx＋φ≤2kπ＋(k∈Z)得到 对称性 其图象的对称轴可由ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)得到； 其图象的对称中心的纵坐标为b，横坐标可由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)得到 微点助解 类比研究函数y＝Asin(ωx＋φ)(Aω≠0)的性质的方法，我们将ωx＋φ看成整体，可以研究函数y＝Acos(ωx＋φ)(Aω≠0)的性质： (1)周期性：y＝Acos(ωx＋φ)(Aω≠0)的最小正周期T＝.还需注意：根据图象可得，y＝A|f(ωx＋φ)|(A，ω，φ为常数，且A≠0，ω≠0)，f为sin，cos 时，最小正周期都是. (2)单调性：求y＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的单调递增(减)区间，将ωx＋φ代入y＝cos x的单调递增(减)区间求出x的取值范围即可．其他情况需根据复合函数的单调性进行转化求解． (3)对称性：y＝Acos(ωx＋φ)的图象的对称轴方程由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)得到，对称中心的横坐标由ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)得到． (4)奇偶性：函数y＝Acos(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为偶函数，当φ＝kπ＋(k∈Z)时为奇函数． 题型(一)　函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调性 [典例1]　(1)将函数f(x)＝sin(ω>0)的图象向左平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，若函数y＝g(x)在上单调递增，则ω的最小值为(　 ) A．2 B. C．3 D．4 (2)函数y＝2sin＋1的单调递增区间为________． [解析]　(1)因为函数f(x)＝sin(ω>0)的图象向左平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，所以g(x)＝f＝sin＝sin＝cos ωx. 当x∈时，ωx∈，因为函数y＝g(x)在上单调递增， 所以有k∈Z⇒4k＋2≤ω≤⇒k＝0,2≤ω≤，因此ω的最小值为2. (2)y＝2sin＋1＝－2sin＋1，要求y＝2sin＋1的单调递增区间，即求函数y＝sin的单调递减区间．由2kπ＋≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z.故所求函数y＝2sin＋1的单调递增区间为，k∈Z. [答案]　(1)A　(2)，k∈Z [方法技巧] 求单调区间的基本方法——基本函数法 用“基本函数法”求函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)或y＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的单调区间的步骤： [针对训练] 1．已知函数f(x)＝sin(0<ω<2)，若函数f(x)在区间上为减函数，则实数ω的取值范围是(　 ) A. B. C. D. 解析：选B　因为π<x<，所以ωπ－<ωx－<－.由题意及正弦函数的单调性可得解得＋2k≤ω≤＋，k∈Z.又0<ω<2，令k＝0，可得≤ω≤，故选B. 2．函数y＝1＋sin，x∈[－4π，4π]的单调递减区间为________________________ _________． 解析：y＝1＋sin＝－sin＋1. 由2kπ－≤x－≤2kπ＋(k∈Z)， 解得4kπ－≤x≤4kπ＋(k∈Z)． 又∵x∈[－4π，4π]， ∴函数y＝1＋sin的单调递减区间为 ，，. 答案：，， 题型(二)　函数y＝Asin(ωx＋φ)的最值问题 [典例2]　(1)求y＝cos，x∈的值域． (2)已知f(x)＝2sin－3(ω＞0)，最小正周期是π.求f(x)的最值，以及取得最值时相应x的集合． [解]　(1)由x∈可得x＋∈. 因为函数y＝cos x在区间上单调递减， 所以函数y＝cos的值域为. (2)由T＝＝π，得ω＝2. 所以f(x)＝2sin－3， 则函数f(x)的最大值为2－3＝－1， 此时2x＋＝2kπ＋，k∈Z， 则x＝kπ＋，k∈Z， 即自变量x的取值集合是； 函数f(x)的最小值为－2－3＝－5，此时2x＋