第1章 §6 第1课时 y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换(强基课—梯度进阶式教学) （word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第二册（北师大版2019）

§6　函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质与图象 　　　　　　第1课时　y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换 　　　　　　　　　　(强基课—梯度进阶式教学) 1.结合具体实例，了解y＝Asin(ωx＋φ)的实际意义． 2．能借助图象理解参数ω，φ，A的意义，了解参数的变化对函数图象的影响． 1．ω对y＝sin ωx的图象的影响 (1)一般地，对于ω>0，函数y＝sin ωx的最小正周期T＝. (2)函数y＝sin ωx的图象是将函数y＝sin x图象上所有点的横坐标缩短到原来的(当ω>1时)或伸长(当0<ω<1时)到原来的倍(纵坐标不变)得到的． (3)频率：通常称周期的倒数＝为频率． 2．φ对y＝sin(ωx＋φ)的图象的影响 (1)函数y＝sin(ωx＋φ)与函数y＝sin ωx有相同的周期，由ωx＋φ＝0，得x＝－，即函数y＝sin ωx图象上的点(0,0)平移到点. (2)函数y＝sin(ωx＋φ)的图象，可以看作将函数y＝sin ωx图象上的所有点向左(φ>0)或向右(φ<0)平移个单位长度得到的． (3)φ决定了x＝0时的函数值，通常称φ为初相，ωx＋φ为相位． 3．A对y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响 (1)函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0)的图象是将y＝sin(ωx＋φ)的图象上的每个点的纵坐标伸长(当A>1时)或缩短(当0<A<1时)到原来的A倍(横坐标不变)得到的． (2)A决定了函数y＝Asin(ωx＋φ)的值域以及函数的最大值和最小值，通常称A为振幅． 微点助解 1．参数的意义 函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)中，参数A，ω，φ，b的变化引起图象的变换：A的变化引起图象中振幅的变换，即纵向伸缩变换；ω的变化引起周期的变换，即横向伸缩变换；φ的变化引起左右平移变换；b的变化引起上下平移变换．图象平移遵循的规律为“左加右减，上加下减”． 2．三角函数图象变换的方法 从y＝sin x的图象变换到y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象的常用方法有两种： [基点训练] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)把函数y＝sin 2x的图象向左平移个单位长度，能得到函数y＝sin的图象．(　 ) (2)把函数y＝sin x的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，可得到函数y＝sin 2x的图象．(　 ) (3)把函数y＝2sin 3x的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的3倍，得到y＝6sin的图象．(　 ) 答案：(1)×　(2)×　(3)√ 2．函数y＝sin在区间上的简图是(　 ) 答案：A 3．函数y＝2sin的最小正周期、振幅依次是(　 ) A．4π，－2 B．4π，2 C．π，2 D．π，－2 答案：B 题型(一)　三角函数图象的变换 考向1　平移变换 [典例1]　(1)将函数y＝2sin的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为(　 ) A．y＝2sin B．y＝2sin C．y＝2sin D．y＝2sin (2)要得到y＝cos的图象，只要将y＝sin 2x的图象(　 ) A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 [解析]　(1)函数y＝2sin的周期为T＝＝π，向右平移个周期，即向右平移个单位长度后，得到图象对应的函数为y＝2sin＝2sin，故选D. (2)y＝sin 2x＝cos＝cos＝cos＝cos. 若设f(x)＝sin 2x＝cos，则f＝cos，∴向左平移个单位长度． [答案]　(1)D　(2)A [方法技巧] 三角函数图象平移变换问题的分类及策略 (1)确定函数y＝sin x的图象经过变换后图象对应的解析式，关键是明确左右平移的方向，按“左加右减”的原则进行． (2)已知两个函数解析式判断其图象间的平移关系时，首先要将解析式化为同名三角函数形式，然后再确定平移方向和平移距离． 考向2　伸缩变换 [典例2]　(1)为了得到函数y＝sin的图象，需将函数y＝sin的图象(　 ) A．纵坐标变为原来的3倍，横坐标不变 B．横坐标变为原来的3倍，纵坐标不变 C．横坐标变为原来的，纵坐标不变 D．纵坐标变为原来的，横坐标不变 (2)函数y＝cos x图象上各点的纵坐标不变，把横坐标变为原来的2倍，得到图象的解析式为y＝cos ωx，则ω的值为(　 ) A．2 B. C．4 D. [解析]　(1)只需将函数y＝sin的图象横坐标变为原来的，纵坐标不变，便得到函数y＝sin的图象，故选C. (2)由题意可知得到图象的解析式为y＝cosx，所以ω＝. [答案]　(1)C　(2)B [方法技巧] 三角函数图象变换的法一(先平移后伸缩)和法二(先伸缩后平移)需要注意