第1章 5.1 第2课时 正弦函数图象与性质的应用(深化课—题型研究式教学)（word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第二册（北师大版2019）

第2课时　正弦函数图象与性质的应用(深化课—题型研究式教学) 题型(一)　正弦函数图象的应用 [典例1]　(1)不等式2sin x－1≥0，x∈[0,2π]的解集为(　 ) A. B. C. D. (2)函数y＝2＋sin x，x∈(0,4π]的图象与直线y＝2的交点的个数是(　 ) A．1 B．2 C．3 D．4 [解析]　(1)因为2sin x－1≥0，所以sin x≥. 在同一直角坐标系下，作函数y＝sin x，x∈[0,2π]以及直线y＝的图象，如图． 由函数的图象知，sin＝sin＝. 所以sin x≥的解集为. (2)在同一平面直角坐标系中画出函数y＝2＋sin x，x∈(0,4π]与直线y＝2的图象(如图所示)，可得两图象的交点共有4个，故选D. [答案]　(1)D　(2)D [方法技巧] 利用图象解不等式sin x>a的步骤 (1)作出相应的正弦函数在[0,2π]上的图象． (2)确定在[0,2π]上sin x＝a的x值． (3)写出不等式在区间[0,2π]上的解集． (4)写出定义域内的解集． [针对训练] 1．函数y＝|sin x|的最小正周期为(　 ) A．π B．2π C．4π D．没有周期性 解析：选A　y＝|sin x|的图象如图， y＝|sin x|是由y＝sin x位于x轴上方部分不变，下方部分沿着x轴翻折后得到， 故y＝|sin x|的最小正周期为π. 2. 在[0,2π]内，不等式sin x<－的解集是(　 ) A．(0，π) B. C. D. 解析：选C　画出y＝sin x，x∈[0,2π]的草图，如图． 因为sin＝，所以sin＝－，sin＝－.即在[0,2π]内，满足sin x＝－的是x＝或x＝.可知不等式sin x<－的解集是.故选C. 题型(二)　正弦函数的单调性及应用 [典例2]　比较下列各组数的大小． (1)sin和cos； (2)sin和sin. [解]　(1)∵cos＝sin， 又<<π<＋<， y＝sin x在上是减函数， ∴sin>sin，即sin>cos . (2)∵cos＝sin ， ∴0<cos<sin<1<. 而y＝sin x在内单调递增， ∴sin<sin. [方法技巧] 1．解决函数单调性问题的策略 解决正弦函数的单调性问题时，若求y＝Asin 2x的单调区间，先由y＝sin x的单调区间确定y＝sin 2x的单调区间，再由A的符号确定y＝Asin 2x的单调区间． 2．比较大小的解题策略 (1)比较同名三角函数值的大小时，首先把三角函数转化为同一单调区间上的同名三角函数，再利用函数单调性通过比较自变量确定函数值的大小． (2)对不是同名的三角函数值比较大小时，应先化为同名三角函数，然后再比较大小． [针对训练] 3．(多选)函数f(x)＝sin 2x的单调递减区间可以是(　 ) A.(k∈Z) B.(k∈Z) C.(k∈Z) D.(k∈Z) 解析：选AB　由＋2kπ≤2x≤＋2kπ(k∈Z)，得＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)． ∴函数f(x)＝sin 2x的单调递减区间是(k∈Z)，B正确． ∵函数f(x)的周期是kπ(k≠0)， ∴A也正确．故选A、B. 4．比较大小：sin________sin. 解析：因为函数y＝sin x在上单调递增，且－<－<－<0， 所以sin>sin. 答案：> 题型(三)　与正弦函数有关的最值、值域问题 [典例3]　(1)函数f(x)＝－2sin x＋1，x∈的值域是(　 ) A．[1,3] B．[－1,3] C．[－3,1] D．[－1,1] (2)函数y＝sin2x－4sin x的最小值是________． (3)函数y＝的值域为________． [解析]　(1)∵x∈，∴sin x∈[－1,1]．∴－2sin x＋1∈[－1,3]． (2)令sin x＝t，当x∈R时，t∈[－1,1]， 则y＝t2－4t，t∈[－1,1]． ∵y＝t2－4t＝(t－2)2－4， ∴当t∈[－1,1]时，y＝t2－4t单调递减． ∴当t＝1时，y＝t2－4t取最小值，ymin＝12－4×1＝－3. ∴当sin x＝1，即x＝＋2kπ，k∈Z时，函数y＝sin2x－4sin x的最小值是－3. (3)由题得函数的定义域为R， y＝＝＝2－，设t＝sin x，t∈[－1,1]， 所以f(t)＝2－，t∈[－1,1]． 由复合函数单调性得函数f(t)在[－1,1]上单调递增， 所以f(t)min＝f(－1)＝2－＝－， f(t)max＝f(1)＝2－＝. 所以函数y＝的值域为. [答案]　(1)B　(2)－3　(3) [方法技巧] (1)一般函数的值域求法有观察法、配方法、判别式法等，而正弦函数是函数的特殊形式，