第1章 4.1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义(强基课—梯度进阶式教学)（word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第二册（北师大版2019）

　4.1　单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(强基课—梯度进阶式教学) 1.借助单位圆理解任意角的正弦函数、余弦函数的定义． 2．会利用任意角的正弦函数、余弦函数的定义求函数值． 1．利用单位圆定义任意角的正弦函数和余弦函数 如图，在直角坐标系中，给定任意角α，作单位圆，角α的终边与单位圆的交点为P(u，v)，把点P的纵坐标v叫作角α的正弦值，把点P的横坐标u叫作角α的余弦值．对于α∈R，称v＝sin α为任意角α的正弦函数，u＝cos_α为任意角α的余弦函数． 2．利用角的终边上的一点的坐标定义正弦函数、余弦函数 设角α终边上除原点外的一点Q(x，y)，则sin α＝，cos α＝，其中r＝. 微点助解 (1)对任意一个给定的角α，它只有唯一的一条终边，从而终边与单位圆只有唯一的交点，所以它对应的正弦值和余弦值都是唯一确定的． (2)角的三角函数值与点在终边上的位置无关． (3)sin2α＋cos2α＝1. [基点训练] 1．若α的终边与x轴负半轴重合，则sin α＝______，cos α＝________. 解析：当α的终边与x轴负半轴重合时，角α的终边与单位圆的交点坐标为(－1,0)，故sin α＝0，cos α＝－1. 答案：0　－1 2．已知角α终边经过点P(5,0)，则sin α＝________，cos α＝________. 解析：∵x＝5，y＝0，∴r＝5. ∴sin α＝＝0，cos α＝＝1. 答案：0　1 题型(一)　单位圆法求三角函数值 [典例1]　在单位圆中，α＝. (1)画出角α； (2)求出角α的终边与单位圆的交点坐标； (3)求出角α的正弦函数值、余弦函数值． [解]　(1)因为α＝＝2π＋，所以角α的终边与角的终边相同．以原点为角的顶点，以x轴非负半轴为角的始边，逆时针旋转，与单位圆交于点P，则角α如图所示． (2)由(1)知，点P在第二象限，且在角的终边上，所以点P的坐标为. (3)由(2)及正、余弦函数的定义可得sin＝，cos＝－. [方法技巧] 单位圆法求三角函数的值，先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用三角函数的定义求出相应的三角函数值． [针对训练] 1．已知角α的终边经过点，则sin α＝________，cos α＝________. 解析：因为2＋2＝1，所以点在单位圆上，由三角函数的定义知sin α＝－，cos α＝－. 答案：－　－ 2．利用定义求的正弦函数值、余弦函数值． 解：如图所示，的终边与单位圆的交点为P，过点P作PB⊥x轴于点B，在Rt△OBP中，|OP|＝1，∠POB＝，则|PB|＝，|OB|＝，则P.所以sin＝，cos＝－. 题型(二)　已知角终边上的一点求值 [典例2]　(1)已知角θ的终边经过点P(1，－)，则cos θ的值为(　 ) A．－ B. C．－ D. (2)若角α的终边过点P(－3a,4a)(a≠0)，则2sin α＋cos α＝________.　 [解析]　(1)因为角θ的终边经过点P(1，－)，所以cos θ＝＝. (2)r＝＝5|a|. ①若a>0，则r＝5a， 角α在第二象限，sin α＝＝＝， cos α＝＝＝－. 所以2sin α＋cos α＝－＝1. ②若a<0，则r＝－5a， 角α在第四象限，sin α＝＝－， cos α＝＝. 所以2sin α＋cos α＝－＋＝－1. 综上所述，2sin α＋cos α＝1或－1. [答案]　(1)D　(2)1或－1 [方法技巧] 已知角的终边上一点求三角函数值的步骤 (1)取点：在角α的终边上任取一点P(x，y)(P与原点不重合)； (2)计算r：r＝|OP|＝； (3)求值：由sin α＝，cos α＝求值． [针对训练] 3．(多选)角α的终边上一点的坐标为P(3,4)，则下列结论正确的是(　 ) A．sin α＝ B．sin α＝ C．cos α＝ D．cos α＝ 解析：选BC　因为点P到坐标原点的距离r＝＝5，所以sin α＝，cos α＝. 4．已知角θ的终边经过点P(，a)，若sin θ＝－，则a＝(　 ) A. B. C．－ D．－ 解析：选D　因为sin θ<0，所以a<0，sin θ＝＝－，解得a＝－或a＝(舍去)． 题型(三)　已知角终边所在直线求值 [典例3]　已知角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝－2x上，则cos2θ－sin2θ＝(　 ) A．－ B．－ C. D. [解析]　直线y＝－2x过原点，经过第二象限与第四象限． ①若角θ的终边在第二象限，在终边上取一点P(－1,2)，由任意角的三角函数定义，得 sin θ＝＝， cos