第1章 §3 弧度制(概念课—逐点理清式教学)（word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第二册（北师大版2019）

§3　弧度制(概念课—逐点理清式教学) 1．了解弧度制下，角的集合与实数集之间的一一对应关系． 2．明确圆周角度数和弧度数，有助于熟练掌握角度与弧度的互化． 3．掌握弧长公式和扇形面积公式，熟悉特殊角的弧度数． 逐点清(一)　弧度概念 [多维度理解] 1．弧度 在单位圆(半径为单位长度1的圆)中，把长度等于1的弧所对的圆心角称为1弧度的角．其单位用符号rad表示，读作弧度(通常“弧度”或“rad”省略不写)． 2．弧度制 在单位圆中，每一段弧的长度就是它所对圆心角的弧度数．这种以弧度作为单位来度量角的方法，称作弧度制． 3．弧度数 一般地，弧度与实数一一对应．正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0. 微点助解 (1)1弧度的角与1度的角所指含义不同，大小更不同． (2)无论是以“弧度”还是以“度”为单位来度量角，角的大小与“半径”大小无关． (3)用“度”作为单位度量角时，“度”(即“°”)不能省略，而用“弧度”作为单位度量角时，“弧度”二字或“rad”通常省略不写． [细微点练明] 1．下列命题是假命题的为(　 ) A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位 B．1°的角是周角的，1 rad的角是周角的 C．1 rad的角比1°的角要大 D．用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关 解析：选D　根据1度、1弧度的定义可知只有D为假命题，故选D. 2．下列说法正确的是(　 ) A．1弧度的圆心角所对的弧长等于半径 B．大圆中1弧度的圆心角比小圆中1弧度的圆心角大 C．所有圆心角为1弧度的角所对的弧长都相等 D．用弧度表示的角都是正角 解析：选A　对于A，根据弧度的定义知，“1弧度的圆心角所对的弧长等于半径”，故A正确；对于B，大圆中1弧度的圆心角与小圆中1弧度的圆心角相等，故B错误；对于C，只有在同圆或等圆中，1弧度的圆心角所对的弧长是相等的，故C错误；对于D，用弧度表示的角也可以是负角或零角，故D错误． 3．时针经过一小时，转过了________rad. 答案：－ 4．若θ＝－5，则角θ的终边在第________象限． 解析：2π－5与－5的终边相同， ∵2π－5∈，∴2π－5是第一象限角，则－5也是第一象限角． 答案：一 逐点清(二)　弧度与角度的换算 [多维度理解] 角度与弧度的换算 角度化弧度 弧度化角度 360°＝2π_rad 2π rad＝360° 180°＝π_rad π rad＝180° 1°＝ rad≈0.017 45 rad 1 rad＝≈57°18′ 微点助解 1．角度与弧度互化的原则和方法 (1)原则：牢记180°＝π rad，充分利用1°＝ rad，1 rad＝°进行换算． (2)方法：设一个角的弧度数为α，角度数为n，则α rad＝°；n°＝n· rad. 2．角度制与弧度制中的易错点 角度制与弧度制是两种不同的度量制度，在表示角时不能混用，例如α＝k·360°＋(k∈Z)，β＝2kπ＋60°(k∈Z)等写法都是不规范的，应写为α＝k·360°＋30°(k∈Z)，β＝2kπ＋(k∈Z)． [细微点练明] 1．(多选)下列转化结果正确的是(　 ) A．72°化成弧度是 B．－π化成角度是－660° C．－150°化成弧度是－π D.化成角度是15° 解析：选AD　因为72°＝72×＝，所以A正确．因为－π rad＝－600°，所以B不正确．因为－150°＝－ rad，所以C不正确．因为 rad＝15°，所以D正确． 2．时钟的分针在8点到10点20分这段时间里转过的弧度数为(　 ) A.π B．－π C.π D．－π 解析：选B　分针每分钟转6°，则分针在8点到10点20分这段时间里转过度数为－6°×(2×60＋20)＝－840°，∴－840°×＝－π，故选B. 3．将下列角度与弧度进行互化． (1)20°＝________；(2)－15°＝________； (3)＝________；(4)－＝________. 解析：(1)20°＝20×＝. (2)－15°＝－15×＝－. (3)＝×＝105°. (4)－＝－×＝－396°. 答案：(1)　(2)－　(3)105°　(4)－396° 4．将下表中的角度和弧度互化： 角度 0° 30° 45° ___ ___ 120° 135° 150° ___ ___ 360° 弧度 ___ ___ ___ ___ ___ ___ π ___ 答案： 角度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360° 弧度 0 π 2π 逐点清(三)