专题三基本不等式训练-2024届高三数学一轮复习

　基本不等式 【基础过关】 1．(2021·天津四十七中月考)已知a，b∈R，且ab≠0，则下列结论恒成立的是(　　) A．a＋b≥2　　　　　　　B．≥2 C．≥ D．a2＋b2>2ab 2．已知0＜x＜，则x(1－2x)的最大值为(　　) A． B． C． D． 3．函数y＝2x＋的最小值是(　　) A．4 B．2－2 C．2＋2 D．2 4．已知x>0，y>0，若2x＋y＝8xy，则xy的最小值是(　　) A． B． C． D． 5．(2022·天津汇文中学高三期中)若正数a，c满足(a－1)(c－1)＝1, 则4a＋c的最小值为(　　) A．8 B．9 C．10 D．12 6．(2022天津四十七中高三调研)设m>n>0，则m2＋＋的最小值是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 7．(教材人教A版第一册习题)已知x>0，则2－3x－的最大值是__________． 8. (2022·天津部分区期中)已知a>0，b>0，则＋＋2的最小值为________． 9. (2021·天津芦台一中模拟)已知a>0，b>0，a＋2b＝1，则的最小值为________． 10．(2022·天津益中学校期中) (1)已知x>0，y>0，且xy＝x＋y＋8，求xy的最小值； (2)若正数x，y满足x＋3y＝5xy，求3x＋4y的最小值； (3)已知x>，求函数y＝4x－2＋的最小值． 11．(2022·天津南开中学生态城学校高三练习)已知xy>0，x＋2y＝10. (1)求的最小值； (2)求的最小值． 【能力提升】 12．(2022·天津南开·高三期中)已知正实数a，b，c满足a2－2ab＋9b2－c＝0，则的最大值为________． 13．(2022·天津·静海一中期中)若x，y∈，(x－y)2＝(xy)3，则＋的最小值为________． 14．(2022·天津·南开中学模拟)若实数x，y满足x>y>0，且xy＝4，则的最大值为________． 15．(2022·天津·南开中学高三练习)若实数m，n满足m2＋4n2＝1，则的最小值是________． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 　基本不等式 【基础过关】 1．答案：B 2．答案：C 3．答案：C 4．答案：C 5．解析：由题意可得正数a，c满足(a－1)(c－1)＝1， 当(a－1)>0，(c－1)>0时，则4a＋c＝4(a－1)＋(c－1)＋5≥2＋5＝9， 当且仅当a＝，c＝3时取等号， 当a－1<0，c－1<0时，4a＋c＝－[4(1－a)＋(1－c)]＋5≤－2＋5＝1，不合题意； 故4a＋c的最小值为9，故选B. 答案：B 6．解析：m2＋＋＝m2－mn＋＋＋mn≥2＋2＝4，当且仅当m2＋mn＝和＝mn，即m＝，n＝时等号成立．所以m2＋＋的最小值是4. 答案：D 7．答案：2－4 8．答案：4 9．解析：＝＝＝＋＋6≥2＋6 当且仅当＝时取等号 答案：2＋6 10．解析：(1)∵x>0，y>0，∴x＋y≥2， 又∵xy＝x＋y＋8，∴xy≥2＋8，即≥0， ∵>0，∴＋2>0，∴－4≥0，即xy≥16， 当且仅当x＝y＝4时，等号成立． ∴xy的最小值为16. (2)∵x＋3y＝5xy，x>0，y>0，∴＋＝1， ∴3x＋4y＝＝＋＋≥＋2＝5， 当且仅当＝，即x＝2y＝1时取等号，故3x＋4y的最小值为5﹒ (3)∵x>，∴4x－5>0，∴y＝4x－2＋＝4x－5＋＋3≥2＋3＝5， 当且仅当4x－5＝，即x＝时取等号， ∴y＝4x－2＋的最小值为5. 11．解析：(1)＝＝＋≥2＝4， 当且仅当＝，即xy＝12时，取等号，所以的最小值为4， (2)因为xy>0，x＋2y＝10，所以2＝20 则＝＝ ＝＝＋14＝＋＋14≥2＋14＝4＋14， 当且仅当4x2＝10y2，即x＝，y＝时，取等号， 所以的最小值为4＋14. 【能力提升】 12．解析：由a2－2ab＋9b2－c＝0，得c＝a2－2ab＋9b2，因为a，b，c是正实数 所以＝＝，则＋≥2＝6， 当且仅当＝，且a，b>0，即a＝3b时，等号成立． 所以＋－2≥4>0，则≤，所以的最大值为. 答案： 13．解析：因为(x－y)2＝(xy)3且x，y∈R＋，则两边同除以(xy)2，得(－)2＝xy， 又因为(＋)2＝(－)2＋4·＝xy＋4·≥2＝4，当且仅当xy＝4·，即x＝2＋，y＝2－时等号成立，所以＋≥＝2. 答案：2 14．解析：令x－y＝t，则t>0， ＝＝＝≤＝， 当且仅当t＝，即t＝4时，等号成立，所以的最大值为. 答案： 15．解析：解析：令x＝m，y＝2n，则＝＝＝＝x＋y＋1，因为2≤＝，所以－≤x