2024年中考数学难题突破：平面直角坐标系

2024年中考数学难题突破：平面直角坐标系 1．在平面直角坐标系中，对于点，点，给出如下定义：如果点与原点的距离为，点与点的距离是的倍（为整数），那么称点为点的“倍关联点”．    (1)当时， ①若点的2倍关联点在轴上，那么点的坐标为______； ②若是点的倍关联点，且满足，，那么整数的最大值为______； (2)在中，，，，，若，且在的边上存在点的2倍关联点，求的取值范围． 2．在平面直角坐标系中，对于点P，点M给出如下定义：如果点P与原点O的距离为a，点M与点P的距离是a的k倍（k为整数），那么称点M为点P的“k倍关联点”． (1)当时， ①如果点的4倍关联点M在x轴上，那么点M的坐标为____________； ②如果点是点的k倍关联点，且满足，，那么整数k的最大值为______； (2)已知在中，，，，．若，且在的边上存在点的4倍关联点Q，求b的取值范围． 3．对于平面直角坐标系中的点和点，给出如下定义：若满足，那么称点N是点M的“限变点”．    请解决下面的问题： (1)当时， ①已知点P的坐标是，则点P的“限变点”Q的坐标是_______； ②若点的“限变点”Q的坐标为，求点P的坐标； (2)如图1，已知点，，点P在线段上，点P的“限变点”为Q，则Q的纵坐标t的取值范围是_______； (3)如图2，已知点P是一、三象限角平分线上的点，的顶点、、，若上存在点P的“限变点”，直接写出m的取值范围． 4．如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，且、满足，现同时将点，分别向下平移2个单位，再向左平移1个单位，分别得到点，的对应点，，连接，，．    (1)求点C，D的坐标及四边形的面积． (2)点是四边形上的一个动点，连接，．当点在上移动时（不与，重合）求的值． (3)当点运动到什么位置时，直线将四边形的面积分成两部分？（直接写出答案） 5．在平面直角坐标系中，点、且、满足 (1)直接写出、两点坐标； (2)如图，直线轴，垂足为点点为上一点，且点在第四象限，若的面积为，求点的坐标； (3)如图，点为轴负半轴上一点，过点作CD//AB，E为线段上任意一点，以为顶点作，使交于点为线段与线段之间一点，连接，且当点在线段上运动时，始终垂直于，试写出与之间的数量关系，并证明你的结论． 6．如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点． (1)求点、点的坐标及的面积； (2)线段上存在一动点从点出发沿以每秒2个单位的速度向运动，设点运动时间为秒，连接，当为何值时平分； (3)在（2）的前提下，过点作于点，试问轴上是否存在一动点，使得为等腰三角形，若存在请直接写出坐标，若不存在，请说明理由． 7．如图1，在平面直角坐标系中中，点，以为半径在轴的上方作半圆，交正半轴于点，点是该半圆周上一动点，连接、，并延长至点，使.      (1)连接，直接写出的最大值为________； (2)如图2，过点作轴的垂线，分别交轴、直线于点、，点为垂足. ①若点的横坐标为，求线段的长； ②当点在运动过程中，是否存在以点、、为顶点的三角形与相似？若存在，请直接写出此时点的坐标；若不存在，请说明理由. 8．定义：在平面直角坐标系中，当点在图形的内部，或在图形上，且点的横坐标和纵坐标相等时，则称点为图形的“梦之点”．    (1)如图①，矩形的顶点坐标分别是，，在点中，是矩形“梦之点”的是________； (2)如图②，已知点是抛物线上的“梦之点”，点是抛物线的顶点．连接，求的面积． (3)在（2）的条件下，点为抛物线上一点，点为平面内一点，是否存在点，使得以为对角线，以为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 9．在平面直角坐标系中，点满足，点在第一象限，，且 (1)如图1，点的坐标为 ； (2)如图2，若点运动到位置，点运动到位置，保持，求的值； (3)如图3，若是线段上一点，为中点，作，连，判定线段与的关系，并加以证明． 10．平面直角坐标系中，点B在x轴正半轴，点C在y轴正半轴，是等腰直角三角形，，，交y轴负半轴于点D． (1)如图1，点C的坐标是，点B的坐标是，直接写出点A的坐标； (2)如图2，交x轴的负半轴于点E，连接，交于F． ①求证：； ②求证：点D是的中点； ③求证：． 11．如图，在平面直角坐标系中，点A、点B分别在x轴和y轴的正半轴上，，，a、b满足，．    (1)求a，b的值； (2)点D在上，且，点D的横坐标为m，的面积为S，请用含m的式子表示S； (3)在（2）的条件下，过D作于E，于F，若平分的周长，求的长． 12．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数与轴交于点，与轴交于点，点为线段的中点，过点作轴，垂足为．    (1)求、两点的坐标； (2)已知Q在第一象限内，且是以