江西省宜春市宜丰中学2023-2024学年高二下学期开学考试数学试题（创新部）

2023-2024（下）创新部高二开学考数学试卷 一、单选题（40分） 1．已知， 设集合， ，则（ ） A．​ B．​ C．  ​ D．​ 2．已知，，则（    ） A． B． C． D． 3．在棱长为2的正方体中，分别取棱，的中点E，F，点G为EF上一个动点，则点到平面的距离为（    ） A． B． C．1 D． 4．设函数，若，，（e为自然对数的底数），则（    ） A． B． C． D． 5．已知对任意，且，恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．已知数列的前项和为，且().记，为数列的前项和，则使成立的最小正整数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 7．已知函数，（e为自然对数的底数），则函数的零点个数为（    ） A．8 B．7 C．6 D．4 8．已知函数满足：，，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题（20分） 9．下列说法中正确的是（    ） A． B．事件为必然事件，则事件、是互为对立事件 C．设随机变量服从正态分布，若，则 D．甲、乙两名运动员分别对同一目标各射击一次，甲射中的概率为0.6，乙射中的概率为0.8，则恰有1人射中的概率为0.12 10．已知抛物线C：，圆F：（F为圆心），点P在抛物线C上，点Q在圆F上，点A，则下列结论中正确的是（    ） A．的最小值是 B．的最小值是 C．当最大时， D．当最小时， 11．已知函数的定义域为为的导函数，且，，若为偶函数，则（    ） A． B． C． D． 12．已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．当时，曲线在点处的切线方程为 B．若对任意的，都有，则实数的取值范围是 C．当时，既存在极大值又存在极小值 D．当时，恰有3个零点，且 三、填空题（20分） 13．若函数在区间D上是减函数，请写出一个符合条件的区间 ． 14．已知圆经过，两点，且圆心在直线上，直线经过点，且与圆相交所得弦长为，则直线的方程为 . 15．设函数，．若对任意的，存在，使得成立，则实数m的取值范围为 ． 16．已知是函数的导函数，且对任意的实数的都有，且，若的图像与有个交点，则的取值范围为 ． 四、解答题（70分） 17．已知等比数列的公比，前n项和为，满足：. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 18．中国共产党第二十次全国代表大会于2022年10月16日在北京召开，为增进学生对党史知识的了解，某校团委决定举办“中国共产党党史知识”竞赛活动.竞赛共有A和B两类试题，每类试题各10题，其中每答对1道A类试题得20分，每答对1道B类试题得10分，答错都不得分，每位参加竞赛的同学从这两类试题中共抽出3道题回答（每道题抽后不放回）.已知甲同学答对各道A类试题的概率均为，B类试题中有6道题会作答. (1)若甲同学只作答A类试题，记甲同学答这3道试题的总得分为X，求X的分布列和期望； (2)若甲同学在A类试题中抽1道题作答，在B类试题中抽2道题作答，求他在这次竞赛中仅答对1道题的概率. 19．如图，四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面，，，E是PD的中点．   (1)证明：平面； (2)当点为棱中点时，求直线与平面所成角的正弦值． 20．已知函数为偶函数，为奇函数，且. (1)求函数和的解析式； (2)若在恒成立，求实数a的取值范围. 21．在平面直角坐标系中，已知的两个顶点坐标为，直线的斜率乘积为. (1)求顶点的轨迹的方程； (2)过点的直线与曲线交于点，直线相交于点，求证：为定值. 22．已知函数，其中 (1)若，求的极值； (2)若，求实数a的取值范围. 创新部高二开学考数学参考答案 1．D【详解】由题意，,得,故，A错误；,故B错误， ，故属于集合间符号使用不正确， C错误，,D正确，故选：D 2．C【详解】因为，所以．因为，所以，故．故选：C 3．D【详解】如图所示，因为点E，F分别是，的中点，所以，又因为平面，平面，所以平面，点到平面的距离即为点或到平面的距离.设到平面的距离为，建立如图所示的空间直角坐标系，，，，，，设平面的法向量为，则有，得，可求得平面的法向量为，，所以. 4．D【详解】解：函数定义域为，且，即为偶函数，又当时且与在上单调递增，所以在上单调递增，所以，又，，，即，所以.故选：D 5．D【详解】由得：，，，，（当且仅当时取等号），当恒成立时，. 6．C【详解】解析：由，可知，∴，即.时，，∴，∴，∴，∴数列是以1为首项，以为公比的等比数列.∴.又，∴数列是以为首项，以为公比的等比数列.∴.又，∴，即，∴.又，∴的最小值为7.故选：C.