江西省宜春市宜丰中学2023-2024学年高二下学期开学考试数学试题

2023-2024（下）高二开学考数学试卷 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．若直线经过两点，则直线的倾斜角为 A． B． C． D． 2．设等差数列的前项和为，且 ，则的值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 3．的展开式中，的系数为（    ） A． B． C． D． 4．已知直线与圆交于A，B两点，且，则实数（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 5．已知椭圆的中心在原点，离心率，且它的一个焦点与抛物线的焦点重合，则此椭圆方程为 A． B． C． D． 6．如图，在四面体中，且，用表示，则等于（    ） A． B． C． D． 7．某单位计划从5人中选4人值班，每人值班一天，其中第一、二天各安排一人，第三天安排两人，则安排方法数为（    ） A．30 B．60 C．120 D．180 8．已知抛物线的焦点为，过点作两条互相垂直的直线，，分别与抛物线相交于点和点，，是抛物线上一点，且，从点引抛物线的准线的垂线，垂足为，则的内切圆的周长为（    ） A． B． C． D． 二、多选题（每小题6分，共18分） 9．下列结论中正确的是（    ） A．若变量与之间的相关系数，则与正相关 B．由样本数据得到的线性回归方程必过点 C．已知，，则 D．已知随机变量，则 10．已知等差数列的前项和为，则（    ） A． B． C．数列为单调递减数列 D．取得最大值时， 11．如图，在多面体ABCDEP中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，且DE∥PA，，M，N分别是线段BC，PB的中点，Q是线段CD上的一个动点，则下列说法正确的是（    ）   A．存在点Q，使得NQ⊥PB B．存在点Q，使得异面直线NQ与PE所成的角为30° C．三棱锥Q-AMN体积的取值范围为 D．当点Q运动到CD中点时，CD与平面QMN所成角的正弦值为 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．已知平行直线则的距离是 . 13．已知数列为等比数列，为其前n项和.若，，则的值为 . 14．已知椭圆：的右焦点为，过点作倾斜角为的直线交椭圆于、两点，弦的垂直平分线交轴于点P，若，则椭圆的离心率 ． 四、解答题（77分） 15．（13分）（1）直线经过两直线和的交点，且直线与直线垂直，求直线的方程； （2）已知以为圆心的圆与圆O：相切，求圆的方程. 16．（15分）为弘扬中华优秀传统文化，荣造良好的文化氛围，某高中校团委组织非毕业年级开展了“我们的元宵节”主题知识竞答活动，该活动有个人赛和团体赛，每人只能参加其中的一项，根据各位学生答题情况，获奖学生人数统计如下： 奖项组别 个人赛 团体赛获奖 一等奖 二等奖 三等奖 高一 20 20 60 50 高二 16 29 105 50 (1)从获奖学生中随机抽取1人，若已知抽到的学生获得一等奖，求抽到的学生来自高一的概率； (2)从高一和高二获奖者中各随机抽取1人，以表示这2人中团体赛获奖的人数，求的分布列和数学期望； 17．（15分）已知公比不为1的等比数列满足，且是等差数列的前三项. (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和. 18．（17分）如图，三棱柱中，，是的中点，． (1)证明：平面； (2)求点到平面的距离； (3)求平面与平面的夹角的余弦值． 19．（17分）已知椭圆：的离心率为，椭圆的一个顶点与两个焦点构成的三角形的面积为． (1)求椭圆的方程； (2)已知直线与椭圆相交于、两点，且与轴，轴交于、两点． （i）若，求的值； （ii）若点的坐标为，求证：为定值． 2023-2024（下）高二开学考数学参考答案 1．B【详解】直线经过，两点，设直线的倾斜角为，则，， 则，，故选：B. 2．A【详解】由，可得，则. 3．D【详解】的展开式通项为， 令，得，的系数为.故选：D. 4．D【详解】由题意圆即圆的圆心、半径分别为，圆心到直线的距离为，所以，解得.故选：D. 5．A【详解】试题分析：抛物线的焦点坐标为,所以椭圆的一个焦点坐标为，所以，又，所以，所以椭圆的标准方程为，故选A． 6．C【详解】因为，所以，， 故 故选：C 7．B【详解】先从5人中选出4人值班，再从4人中选出2人值第三天，剩余2人分别值第一、二天， 所以安排方法数为.故选：B. 8．A【详解】由题意，得抛物线的焦点为，易知直线的斜率存在且不为，设直线AB的方程为，代入，整理得：，由根与系数的关系得，，所以， 又直线的方程为，同理，所以，所以，故抛物线，设点，则，所以，所以，所以，所以的面积为，易知，或，则，设的内切圆的半径为，内心为点，则由，得，解得，所以的内切圆的周长为，故A正确.故选：A. 9．AB