2024年九年级中考数学二轮复习课件　专题6　几何综合探究

专题六　几何综合探究 1 如图，△ABC和△DEF都是等腰直角三角形，AB＝AC，∠BAC＝90°，DE＝DF，∠EDF＝90°，D为BC边中点，连接AF，且A，F，E三点恰好在一条直线上，EF交BC于点H，连接BF，CE. (1)求证：AF＝CE； 例1 类型一　非动点探究题 (3)若CH＝2，AH＝4，请直接写出线段AC，AE的长． (1)证明：如图，连接AD. ∵AB＝AC，∠BAC＝90°，BD＝CD，∴AD⊥CB，AD＝DB＝DC.∵∠ADC＝∠EDF＝90°，∠ADC＝∠ADF＋∠FDH，∠EDF＝∠FDH＋∠CDE，∴∠ADF＝∠CDE.∵DF＝DE，∴△ADF≌△CDE(SAS)，∴AF＝CE. 在□ABCD中，∠C＝45°，AD＝BD，点P为射线CD上的动点(点P不与点D重合)，连接AP，过点P作EP⊥AP交直线BD于点E. (1)如图①，当点P为线段CD的中点时，请直接写出PA，PE的数量关系； 例2 类型二　动点探究题 在一次数学研究性学习中，小兵将两个全等的直角三角形纸片ABC和DEF拼在一起，使点A与点F重合，点C与点D重合(如图①)，其中∠ACB＝∠DFE＝90°，BC＝EF＝3 cm，AC＝DF＝4 cm，并进行如下研究活动． 活动一：将图①中的纸片DEF沿AC方向平移，连接AE，BD(如图②)，当点F与点C重合时停止平移． 例3 类型三　平移、旋转探究题 【思考】图②中的四边形ABDE是平行四边形吗？请说明理由； 【发现】当纸片DEF平移到某一位置时，小兵发现四边形ABDE为矩形(如图③)，求AF的长； 活动二：在图③中，取AD的中点O，再将纸片DEF绕点O顺时针方向旋转α度(0≤α≤90)，连接OB，OE(如图④)． 【探究】当EF平分∠AEO时，探究OF与BD的数量关系，并说明理由． 解：【思考】四边形ABDE是平行四边形． 理由：∵△ABC≌△DEF，∴AB＝DE，∠BAC＝∠EDF，∴AB∥DE，∴四边形ABDE是平行四边形． 【探究】BD＝2OF.理由：如图④，延长OF交AE于点H.由矩形性质可得∠OAB＝∠OBA＝∠ODE＝∠OED，OA＝OB＝OE＝OD，∴∠OBD＝∠ODB，∠OAE＝∠OEA.∵∠ABD＋∠BDE＋∠DEA＋∠EAB＝360°，∴∠ABD＋∠BAE＝180°，∴AE∥BD，∴∠OHE＝∠ODB.∵EF平分∠OEH，∴∠OEF＝∠HEF. ∵∠EFO＝∠EFH＝90°，EF＝EF，∴△EFO ≌△EFH，∴EO＝EH，FO＝FH，∴∠EHO ＝∠EOH＝∠OBD＝∠ODB，∴△EOH≌△OBD， ∴BD＝OH＝2OF. 如图①，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点P在边BC上，且不与点B，C重合，直线AP与DC的延长线交于点E. (1)当点P是BC的中点时，求证：△ABP≌△ECP； 例4 类型四　折叠探究题 (2)将△APB沿直线AP折叠得到△APB′，点B′落在矩形ABCD的内部，延长PB′交直线AD于点F. ①证明FA＝FP，并求出在(1)条件下AF的值； ②连接B′C，求△PCB′周长的最小值； ③如图②，BB′交AE于点H，点G是AE的 中点，当∠EAB′＝2∠AEB′时，请判断AB与HG的数量关系，并说明理由． (1)证明：∵在矩形ABCD中，AB∥DC，即AB∥DE，∴∠BAP＝∠E，∠B＝∠ECP.∵点P是BC的中点，∴BP＝CP，∴△ABP≌△ECP(AAS). ③解：AB与HG的数量关系是AB＝2HG.理由：如图②，由折叠的性质可知∠1＝∠3，AB′＝AB，BB′⊥AE.过点B′作B′M∥DE，交AE于点M.∵AB∥DE，∴AB∥DE∥B′M，∴∠1＝∠3＝∠2＝∠AED，∴AB′＝B′M＝AB，∴点H是AM的中点．∵∠EAB′＝2∠AEB′，即∠3＝2∠5，∴∠2＝2∠5.∵∠2＝∠4＋∠5，∴∠4＝ ∠5，∴B′M＝EM，∴B′M＝EM＝AB′＝AB. 例5 类型五　类比探究题 同学们还记得吗？图①、图②是人教版八年级下册教材“实验与探究”中我们研究过的两个图形，受这两个图形的启发，数学兴趣小组提出了以下三个问题，请你回答： 例6 类型六　其他类型探究题 【问题一】如图①，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O又是正方形A1B1C1O的一个顶点，OA1交AB于点E，OC1交BC于点F，则AE与BF的数量关系为_________； 【问题二】受图①启示，兴趣小组画出了 图③；直线m，n经过正方形ABCD的对称中心 O，直线m分别与AD，BC交于点E，F，直线 n分别与AB，CD交于点G，H，且m⊥n，若正 方形ABCD边长为8，求四边形OEAG的面积； AE＝BF　 【问题三】受图②启发，兴趣小组画出了图④；正方形CEFG的顶点G在正方形