专题8.4 因式分解【九大题型】-2023-2024学年七年级数学下册举一反三系列（沪科版）

专题8.4 因式分解【九大题型】 【沪科版】 【题型1 利用因式分解求值】 1 【题型2 因式分解在有理数简算中的应用】 2 【题型3 利用因式分解确定整除问题】 2 【题型4 利用添项进行因式分解】 3 【题型5 利用拆项进行因式分解】 5 【题型6 利用因式分解确定三角形的形状】 6 【题型7 利用因式分解求最值】 6 【题型8 因式分解在新定义问题中的运用】 6 【题型9 因式分解在阅读理解中的运用】 8 【知识点 因式分解】 定义：把一个多项式化成了几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。 以上公式都可以用来对多项式进行因式分解，因式分解的常用方法： ①提公因式法：pa+pb+pc=p(a+b+c)； ②公式法：a2-b2=(a+b)(a-b)；a2+2ab+b2=(a+b)2；a2-2ab+b2=(a-b)2。 ③分组分解法：ac+ad+bc+cd=a(c+d)+b(c+d)=(a+b)(c+d) ④十字相乘法：a2+(p+q)a+pq=(a+p)(a+q) 因式分解的一般步骤： （1）如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式。 （2）在各项提出公因式以后或各项没有公因式的情况下，观察多项式的项数：2项式可以尝试运用公式法分解因式；3项式可以尝试运用公式法、十字相乘法分解因式；4项式及4项式以上的可以尝试分组分解法分解因式 （3）分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解为止。 【题型1 利用因式分解求值】 【例1】（2023春·安徽合肥·七年级统考期末）将因式分解后得，那么n等于（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【变式1-1】（2023春·上海闵行·七年级上海市民办文绮中学校考期中）把多项式分解因式得，求a、b的值． 【变式1-2】（2023春·七年级单元测试）已知三次四项式分解因式后有一个因式是，试求的值及另一个因式． 【变式1-3】（2023春·七年级单元测试）若能分解成两个一次因式的积，则整数k= . 【题型2 因式分解在有理数简算中的应用】 【例2】（2023春·七年级课时练习）利用因式分解计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式2-1】（2023春·全国·七年级专题练习）计算：2020×512－2020×492的结果是 ． 【变式2-2】（2023春·七年级单元测试）计算：（1）×××…××； （2） 【变式2-3】（2023春·七年级单元测试）利用因式分解计算： （1） （2） （3） 【题型3 利用因式分解确定整除问题】 【例3】（2023春·全国·七年级专题练习）某兴趣小组为探究被3整除的数的规律，提出了以下问题： （1）在312，465，522，458中不能被3整除的数是________； （2）一个三位数表示百位、十位、个位上的数字分别是、、（，，为0－9之间的整数，且），那么．若是3的倍数（设，为正整数），那么能被3整除吗？如果能，请证明；如果不能，请说明理由． （3）若一个能被3整除的两位正整数（，为1－9之间的整数），交换其个位上的数字与十位上的数字得到一个新数，新数减去原数等于54，求这个正整数． 【变式3-1】（2023春·辽宁沈阳·七年级统考期末）利用因式分解说明：当n为自然数时，能被24整除． 【变式3-2】（2023春·湖南永州·七年级校联考期中）已知可以被10到20之间的某两个整数整除，则这两个数是（　　） A．12，14 B．13，15 C．14，16 D．15，17 【变式3-3】（2023·河北衡水·统考三模）某数学兴趣小组研究如下等式： ， ， ， ． 观察发现以上等式均是“十位数字相同，个位数字之和是10的两个两位数相乘，且积有一定的规律”． (1)根据上述的运算规律，直接写出结果：___________；___________． (2)设其中一个数的十位数字为a，个位数字为b（a，）， ①请用含a，b的等式表示这个运算规律，并用所学的数学知识证明； ②上述等式中，分别将左边两个乘数的十位和个位调换位置，得到新的两个两位数相乘（如：调换为）．若分别记新的两个两位数的乘积为m，①中的运算结果为n，求证：能被99整除． 【题型4 利用添项进行因式分解】 【例4】（2023春·陕西榆林·七年级统考期末）19世纪的法国数学家苏菲·热门给出了一种分解因式的方法：他抓住了该式只有两项，而且属于平方和的形式，要使用公式就必须添一项，随即将此项减去，即可得，人们为了纪念苏菲·热门给出这一解法，就把它叫做“热门定理”． 根据以上方法，把下列各式因式分解： (1)； (2)． 【变式4-1】（2023春·广东佛山·七年级专题练习）添项、拆项是因式分解中